المكعب رباعي الأبعاد

المكعب رباعي الأبعاد في هذا التصوّر المرئي

المكعب رباعي الأبعاد (التسراكت) هو مجموعة النقاط $(x, y, z, w)$ التي يقع كل إحداثي لها بين $-1$ و$1$: مكعب ذو اتجاه إضافي. إزاحة نقطة ترسم قطعة مستقيمة، وإزاحة القطعة ترسم مربعًا، والمربع مكعبًا، والمكعب — في اتجاه رابع عمودي على الاتجاهات الثلاثة الأخرى — تسراكت. تُضاعف كل خطوة عدد الرؤوس؛ وللمكعب ذي $n$ أبعاد عدد من الأوجه يساوي $\binom{n}{k}2^{n-k}$ من البعد $k$، لذا فإن للتسراكت 16 رأسًا و32 حرفًا و24 مربعًا و8 مكعبات، هي خلاياه. تشكّل الخلايا الثماني حدوده، كما تشكّل المربعات الستة سطح المكعب.

ما تُظهره الصورة

الصورة الكبيرة ظل. يقع مصباح على المحور $w$ على بُعد $d$ من المركز، وتُلقي كل نقطة من التسراكت ظلها في فضائنا $w = 0$:

هذا إسقاط مركزي، وهو النظير رباعي الأبعاد لمصباح فوق مكعب سلكي يلقي ظله على الطاولة — وتُظهر الشاشة أعلى اللوحة ذلك المكعب. الظل جسم ثلاثي الأبعاد؛ ثم تعرضه الشاشة من جانب واحد، في إسقاط ثانٍ. لا يغيّر سحب الصورة إلا هذا الإسقاط الثاني.

تدير اللوحة التسراكت نفسه. في أربعة أبعاد يجري الدوران في مستوٍ: من بين المستويات الإحداثية الستة، تغيّر الثلاثة التي تحتوي على $w$ (XW, YW, ZW) شكل الظل؛ أما الدورانات في XY وXZ وYZ فتدير الظل فقط، وهو ما يفعله السحب. ويُجري XY+ZW دورانًا في مستويين في آن واحد.

الخلية الزرقاء هي التي تتتبّعها. اسمها، مثل w−، هو وسم يخص الجسم نفسه (الخلية التي يكون فيها إحداثيها $w$ مساويًا لـ $-1$)، ويظل محفوظًا مهما دارت. يدير الزر الأحمر نصف دورة التسراكت بمقدار 180° في المستوى المختار بمعدل ثابت، ويترك مسارات رؤوس الخلية المتتبَّعة، مع علامة كل 15°، أي بفواصل زمنية متساوية.

يوفّر قرص الأوضاع طريقتين إضافيتين للنظر. المقطع: يقطع فضاؤنا $w = t$ التسراكت في وضعيته الحالية. المقطع مجسّم مرسوم بحجمه الحقيقي، داخل الظل الباهت الذي يلقيه ضوء متوازٍ على امتداد $w$ (يقع المقطع في المستوى الفائق $w = t$، لذا فإن إسقاط الإحداثي $w$ ينقله دون أن يغيّره). إنه مجسّم حقيقي في فضائنا، لذا يُرسم كما كنا سنرى مجسّمًا: زجاجًا يضيئه ضوء عادي هنا. يحرّك الزر الأحمر مسح القيمة $t$ عبر المجال بمعدل ثابت، ويترك صفًا من المقاطع بخطوات متساوية. يعطي تكامل أحجام المقاطع $V(t)$ حجم التسراكت رباعي الأبعاد: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

الشبكة: ثمانية مكعبات مرتّبة في فضائنا على هيئة صليب، وهو الشكل الذي رسمه سلفادور دالي في Corpus Hypercubus (1954)، تُطوى حول مربعاتها المشتركة إلى البعد الرابع. يقع الصليب المبسوط في المستوى الفائق $w = 1$، لذا فإن ظله هو الصليب مكبّرًا بمعامل $d/(d-1)$: مطابق في الشكل والتناسب، لا في الحجم. عند 90° تنغلق المكعبات لتشكّل التسراكت، ويصبح المكعب السفلي من الصليب المكعب الصغير داخل الظل.

لماذا يبدو المكعب الداخلي صغيرًا

في الوضعية القياسية تكون خليتان عموديتين على الاتجاه نحو المصباح: $w = 1$ الأقرب، و$w = -1$ الأبعد. تُكبَّر الخلية عند ارتفاع $w$ بمعامل $d/(d - w)$، لذا يكون ظلاهما مكعبين بطولي حرف $2d/(d-1)$ و$2d/(d+1)$: الشكل الشهير لمكعب داخل مكعب. تمتد الخلايا الست الأخرى من أحدهما إلى الآخر وتبدو ظلالها كصناديق مائلة؛ والثماني كلها مكعبات متساوية.

ينقل الدوران في المستوى XW أربع خلايا دوريًا — من $w-$ إلى $x+$ إلى $w+$ إلى $x-$ — ويدير الأربع الأخرى في مكانها، كما ينقل دوران مكعب أمام المصباح وجهه السفلي إلى الجانب ثم إلى الأعلى. يتحرك كل رأس على دائرة؛ وظل الدائرة قطع ناقص — أو قطعة مستقيمة، عندما يكون الضوء متوازيًا أو يمر مستوى الدائرة بالمصباح.

يحرّك الدوران في XY وZW معًا بالمعدل نفسه كل نقطة عدا المركز، وكل منها بالزاوية نفسها (حتى 180°). ينقل نصف دورة كل نقطة إلى الجانب المقابل من المركز — وهو التحويل $-I$. في ثلاثة أبعاد يكون $-I$ انعكاسًا حول المركز؛ وكل دوران هناك يُبقي محورًا ثابتًا.

ضوء المصباح

يضيء المصباح التسراكت أيضًا، كما يضيء المصباح مكعبًا. يسري قانون لامبرت لجيب التمام في أي عدد من الأبعاد: تتلقى قطعة من السطح ضوءًا يتناسب مع جيب تمام الزاوية بين متجهها العمودي المتجه إلى الخارج والاتجاه نحو المصباح. سطح التسراكت هو خلاياه الثماني، ولكل منها متجه عمودي؛ تُضاء الخلية المواجهة للمصباح، وتزداد سطوعًا كلما واجهته بصورة أكثر استقامة، وتكون الخلية المديرة وجهها بعيدًا عنه مظلمة. التوهّج حول المناطق الساطعة تأثير للعرض؛ أما السطوع نفسه فهو هذا الضوء.

ينتشر ضوء المصباح النقطي على كرات تحيط به. في فضائنا تنمو مساحة الكرة وفق $r^2$، فتتناقص شدة الضوء وفق $1/r^2$؛ وفي أربعة أبعاد تكون الكرة المحيطة بالمصباح ثلاثية الأبعاد، وينمو حجمها وفق $r^3$، وتتناقص شدة الضوء وفق $1/r^3$. لهذا يتوهّج الجزء الأقرب إلى المصباح، ويخفت الضوء بهذه السرعة عبر الخلية. عندما يكون المصباح عند اللانهاية لا تتناقص الشدة مع المسافة.

ما يضيئه المصباح هو بالضبط ما ستراه عين عند موضعه: الخلايا المديرة وجوهها بعيدًا عنه تقع خلف الخلايا المضاءة. يُبقي خيار الخلايا المضاءة فقط هذه الخلايا وحدها (وتبقى الخلية المتتبَّعة أثرًا باهتًا عندما تكون في الخلف). يُظهر المكعب 3 أوجه على الأكثر في آن واحد؛ ويُظهر التسراكت 4 خلايا على الأكثر، واحدة على الأكثر لكل محور من محاوره الذاتية — وهي الخلية في جانب المحور الذي يقع المصباح وراءها فيه. عند تقدّم خلية أولًا يكون العدد 1، وهو المكعب الخارجي الكبير؛ ووجه أولًا 2؛ وحرف أولًا 3؛ ورأس أولًا 4، وهي الأزرار الأربعة في وضع المقطع. تملأ ظلال الخلايا المضاءة كامل الحيّز داخل المحيط الخارجي للظل دون تداخل، كما يلقي الوجه العلوي لمكعب يقع مصباح فوقه مباشرة كامل ظله.

يضيء المصباح نفسه الشبكة. عندما تكون مبسوطة في $w = 1$ يواجهه كل مكعب؛ وأثناء الطي يدير كل مكعب، عدا المركزي، متجهه العمودي بعيدًا عن $w$ ويُظلم؛ وعند الإغلاق لا تُضاء إلا $w+$ — وهي صورة الظل مع إبقاء الخلايا المضاءة فقط.

ما قد يُساء فهمه

• المكعب الداخلي ليس أصغر من الخارجي؛ بل هو أبعد عن المصباح.
• الخلية المظلمة لم تنكمش ولم تختفِ: إنها تدير وجهها بعيدًا عن المصباح.
• الأحرف التي تتقاطع في الصورة لا تلتقي بالضرورة في الظل، والأحرف التي تلتقي في الظل لا تلتقي بالضرورة في أربعة أبعاد: هناك إسقاطان بين التسراكت والشاشة.
• لا ينقلب شيء من الداخل إلى الخارج ولا ينثني: كل دوران هنا يحافظ على شكل الجسم وأبعاده. ما يتغيّر هو بُعد كل جزء عن المصباح.
• البعد الرابع هنا اتجاه في المكان، وليس الزمن؛ ولا يستخدم الزر الأحمر «مسح» الزمن إلا للمرور على امتداد ذلك الاتجاه.
• المقطع ليس ظلًا: إنه الجزء من التسراكت الواقع في مستوى فائق واحد، بحجمه الحقيقي، بينما يُسطّح الظل الجسم كله.

التاريخ

سمّى تشارلز هوارد هينتون التسراكت عام 1888، في كتاب عن كيفية تعلّم تخيّل أربعة أبعاد [1]؛ وكان كتاب إدوين أبوت الأرض المسطّحة (1884) قد استخدم كائنات ثنائية الأبعاد تلتقي ببُعد ثالث لتقديم هذا التشبيه [2]. وأظهرت أفلام توماس بانشوف الحاسوبية وكتابه ما وراء البعد الثالث ظلال التسراكت ومقاطعه وشبكاته المبسوطة وهي تدور على الشاشة [3].

مفاهيم ذات صلة

التحويل الخطي · الإسقاط العمودي (صفحة مخطّط لها)

المراجع

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Tesseract (الإنجليزية).