Tesserakt

Bu görselleştirmedeki tesserakt

Tesserakt, her koordinatı $-1$ ile $1$ arasında olan $(x, y, z, w)$ noktalarının kümesidir: bir yönü daha olan bir küp. Bir noktayı kaydırmak bir doğru parçası, doğru parçasını kaydırmak bir kare, kareyi kaydırmak bir küp ve küpü diğer üç yöne dik bir dördüncü yönde kaydırmak bir tesserakt oluşturur. Her adım köşe sayısını iki katına çıkarır; $n$ boyutlu küpün $k$ boyutunda $\binom{n}{k}2^{n-k}$ yüzü vardır. Dolayısıyla tesseraktın 16 köşesi, 32 ayrıtı, 24 karesi ve hücreleri olan 8 küpü vardır. Bu 8 hücre, tıpkı 6 karenin bir küpün yüzeyini oluşturması gibi, tesseraktın sınırını oluşturur.

Görsel neyi gösteriyor

Büyük görsel bir gölgedir. Bir lamba $w$ ekseninde merkezden $d$ uzaklıkta durur ve tesseraktın her noktası $w = 0$ uzayımıza gölgesini düşürür:

Bu bir merkezî izdüşümdür; telden yapılmış bir küpün üzerindeki lambanın küpün gölgesini masaya düşürmesinin dört boyutlu karşılığıdır — panelin üstündeki ekran o küpü gösterir. Gölge üç boyutlu bir nesnedir; ekran da onu bir yandan göstererek ikinci bir izdüşüm yapar. Görseli sürüklemek yalnızca bu ikinci izdüşümü değiştirir.

Panel tesseraktın kendisini döndürür. Dört boyutta bir dönme, bir düzlemi döndürür: altı koordinat düzleminden $w$ eksenini içeren üçü (XW, YW, ZW) gölgenin şeklini değiştirir; XY, XZ ve YZ düzlemlerindeki dönmeler yalnızca gölgeyi döndürür, sürüklemenin yaptığı da budur. XY+ZW iki düzlemi aynı anda döndürür.

Mavi hücre, izlediğiniz hücredir. w− gibi bir adı, nesnenin kendi etiketidir (kendi $w$ koordinatının $-1$ olduğu hücre) ve nasıl dönerse dönsün korunur. Kırmızı Yarım tur düğmesi tesseraktı seçilen düzlemde sabit hızla 180° döndürür ve izlenen hücrenin köşelerinin yörüngelerini bırakır; her 15°'de bir işaret bulunur, yani işaretler eşit zaman aralıklarını gösterir.

Mod kadranı iki görüntüleme biçimi daha sunar. Kesit: $w = t$ uzayımız tesseraktı mevcut duruşunda keser. Kesit, $w$ yönündeki paralel ışığın oluşturduğu soluk gölgenin içinde gerçek boyutunda çizilen bir katı cisimdir (kesit $w = t$ hiperdüzleminde yer alır, dolayısıyla $w$ koordinatını atmak onu değiştirmeden taşır). Uzayımızda gerçek bir katı cisim olduğundan, böyle bir cismi göreceğimiz şekilde çizilir: burada sıradan bir ışıkla aydınlatılmış cam olarak. Kırmızı Tara düğmesi $t$ değerini sabit hızla bir uçtan diğerine ilerletir ve eşit adımlarla alınmış bir kesit sırası bırakır. Kesitlerin $V(t)$ hacimlerinin integrali tesseraktın dört boyutlu hacmini verir: $\int V\,dt = 2^4 = 16$.

Açınım: uzayımızda haç biçiminde dizilmiş sekiz küp, ortak kareleri etrafında dördüncü boyuta doğru katlanır; bu, Salvador Dalí'nin Corpus Hypercubus (1954) tablosunda resmettiği şekildir. Katlanmamış haç $w = 1$ hiperdüzleminde yer alır, bu yüzden gölgesi haçın $d/(d-1)$ kat büyütülmüş hâlidir: şekli ve oranları doğrudur, boyutu değil. 90°'de küpler kapanarak tesseraktı oluşturur ve haçın en alttaki küpü gölgenin içindeki küçük küp olur.

İçteki küp neden küçük

Standart duruşta iki hücre lambanın doğrultusuna dik durur: daha yakındaki $w = 1$ ve daha uzaktaki $w = -1$. $w$ yüksekliğindeki bir hücre $d/(d - w)$ kat büyütülür; dolayısıyla gölgeleri ayrıt uzunlukları $2d/(d-1)$ ve $2d/(d+1)$ olan küplerdir: ünlü küp içinde küp görüntüsü. Diğer altı hücre birinden diğerine uzanır ve gölgeleri eğik kutular gibi görünür; sekizi de eş küplerdir.

XW düzlemindeki bir dönme dört hücrenin — $w-$, ardından $x+$, ardından $w+$, ardından $x-$ — döngüsel olarak yer değiştirmesini sağlar ve diğer dördünü yerinde döndürür; tıpkı lambanın önünde döndürülen bir küpün alt yüzünü önce yana, sonra üste getirmesi gibi. Her köşe bir çember üzerinde hareket eder; bir çemberin gölgesi elipstir — ışık paralel olduğunda veya çemberin düzlemi lambadan geçtiğinde ise doğru parçasıdır.

XY ve ZW düzlemlerini birlikte aynı hızla döndürmek merkez dışındaki her noktayı aynı açı kadar (180°'ye kadar) hareket ettirir. Yarım tur her noktayı merkezin karşı tarafına götürür — bu, $-I$ dönüşümüdür. Üç boyutta $-I$ merkeze göre bir nokta yansımasıdır; oradaki her dönme bir ekseni sabit tutar.

Lambanın ışığı

Lamba, bir lambanın küpü aydınlatması gibi tesseraktı da aydınlatır. Lambert'in kosinüs yasası her boyutta geçerlidir: bir yüzey parçası, dışa dönük normali ile lambaya doğru olan yön arasındaki açının kosinüsüyle orantılı miktarda ışık alır. Tesseraktın yüzeyi, her birinin bir normali olan 8 hücresidir; lambaya bakan bir hücre aydınlanır, lambaya daha doğrudan baktıkça daha parlak olur; öteye bakan bir hücre ise karanlıktır. Parlak yerlerin çevresindeki parıltı bir görselleştirme etkisidir; parlaklığın kendisi bu ışıktan gelir.

Noktasal bir lambanın ışığı, çevresindeki küreler üzerine yayılır. Uzayımızda bir kürenin alanı $r^2$ ile orantılı büyür, dolayısıyla ışık $1/r^2$ ile orantılı azalır; dört boyutta lambanın çevresindeki küre üç boyutludur, büyüklüğü $r^3$ ile orantılı artar ve ışık $1/r^3$ ile orantılı azalır. Lambaya en yakın bölümün parlamasının ve ışığın bir hücre boyunca bu kadar hızla sönükleşmesinin nedeni budur. Lamba sonsuzdayken uzaklıkla zayıflama olmaz.

Lambanın aydınlattığı şey, lambanın bulunduğu yerdeki bir gözün göreceği şeyin tam kendisidir: öteye bakan hücreler aydınlananların arkasında kalır. Yalnızca aydınlanan hücreler sadece bunları gösterir (izlenen hücre arkadaysa soluk bir iz olarak kalır). Bir küp aynı anda en fazla 3 yüzünü gösterir; bir tesserakt ise kendi eksenlerinin her biri için en fazla bir tane olmak üzere en fazla 4 hücre gösterir — o eksenin lambaya doğru olan tarafındaki, lambanın berisinde kalan hücreyi. Hücre öndeyken 1 hücre, dıştaki büyük küp; yüz öndeyken 2; ayrıt öndeyken 3; köşe öndeyken 4 hücre vardır; bunlar kesit modunun dört düğmesidir. Aydınlanan hücrelerin gölgeleri, üst üste binmeden gölgenin dış sınırının içini tamamen doldurur; tıpkı tam üzerinde lamba bulunan bir küpün üst yüzünün küpün tüm gölgesini oluşturması gibi.

Açınım aynı lambayla aydınlatılır. $w = 1$ içinde katlanmamış hâlde dururken her küp lambaya bakar; katlanırken merkezdeki hariç her küp normalini $w$ yönünden öteye çevirip kararır; kapandığında yalnızca $w+$ aydınlanır — bu, yalnızca aydınlanan hücrelerin gösterildiği gölge görüntüsüdür.

Kolayca yanlış anlaşılabilenler

• İçteki küp dıştakinden küçük değildir; lambadan daha uzaktadır.
• Karanlık bir hücre küçülmüş ya da yok olmuş değildir: lambadan öteye bakıyordur.
• Görselde kesişen ayrıtlar gölgede kesişmek zorunda değildir; gölgede kesişen ayrıtlar da dört boyutta kesişmek zorunda değildir: tesserakt ile ekran arasında iki izdüşüm vardır.
• Hiçbir şeyin içi dışına çıkmaz veya hiçbir şey bükülmez: buradaki her dönme katı bir harekettir. Değişen, her parçanın lambadan ne kadar uzakta olduğudur.
• Buradaki dördüncü boyut zaman değil, uzayda bir yöndür; kırmızı Tara düğmesi zamanı yalnızca o yön boyunca tarama yapmak için kullanır.
• Kesit bir gölge değildir: tesseraktın tek bir hiperdüzlemde yer alan, gerçek boyutundaki parçasıdır; gölge ise nesnenin tamamını daha düşük bir boyuta indirger.

Tarihçe

Charles Howard Hinton, dört boyutu zihinde canlandırmanın nasıl öğrenilebileceği üzerine yazdığı bir kitapta, 1888'de tesserakta adını verdi [1]; Edwin Abbott'ın Flatland (1884) adlı eseri ise bu benzetmeyi kurmak için üçüncü boyutla karşılaşan iki boyutlu varlıkları zaten kullanmıştı [2]. Thomas Banchoff'ın bilgisayar filmleri ve Beyond the Third Dimension adlı kitabı, tesseraktın gölgelerini, kesitlerini ve açınımlarını ekranda dönerken gösterdi [3].

İlgili kavramlar

Doğrusal dönüşüm · Dik izdüşüm (sayfa planlanıyor)

Kaynaklar

1. C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
2. E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
3. T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Ek okumalar: Vikipedi: Tesseract (İngilizce).