四維超立方體：互動探索

這個視覺化中的四維超立方體

四維超立方體（正八胞體）是所有座標都介於 $-1$ 與 $1$ 之間的點 $(x, y, z, w)$ 所組成的集合：也就是多了一個方向的立方體。平移一個點得到線段，平移線段得到正方形，平移正方形得到立方體，再把立方體沿著垂直於其餘三個方向的第四個方向平移，就得到正八胞體。每一步都讓頂點數加倍； $n$ 維立方體有 $\binom{n}{k}2^{n-k}$ 個 $k$ 維的面，因此正八胞體有16個頂點、32條邊、24個正方形和8個立方體，這些立方體稱為它的胞。8個胞構成它的邊界，就像6個正方形構成立方體的表面。

畫面呈現的是什麼

主圖是一個影子。一盞燈位於 $w$ 軸上，距中心 $d$ ，正八胞體的每個點都將影子投到我們的空間 $w = 0$ 中：

(x,\,y,\,z,\,w)\ \longmapsto\ \frac{d}{d-w}\,(x,\,y,\,z)

這是中心投影，是「線框立方體上方的一盞燈將它的影子投在桌面上」的四維版本——面板頂部的小畫面顯示的就是那個立方體。影子是三維物體；螢幕再從一側呈現它，這是第二次投影。拖曳畫面只會改變第二次投影。

面板控制的是正八胞體本身的旋轉。在四維中，旋轉是在一個平面內進行的：六個座標平面中，包含 $w$ 的三個平面（XW、YW、ZW）會改變影子的形狀；在XY、XZ和YZ平面內旋轉只會轉動影子，也就是拖曳畫面所做的事。XY+ZW則同時在兩個平面內旋轉。

藍色的胞是你正在追蹤的胞。它的名稱，例如w−，是物體自身的標籤（自身 $w$ 等於 $-1$ 的那個胞），無論怎麼旋轉都保持不變。紅色按鍵轉半圈會讓正八胞體在所選平面內以固定速率旋轉180°，並留下追蹤胞的頂點軌跡，每15°標記一個刻度，因此時間間隔相等。

模式轉盤提供另外兩種觀看方式。截面：我們的空間 $w = t$ 切過目前姿態的正八胞體。截面以實際大小繪製，是位於沿 $w$ 方向的平行光所投出的淡色影子內的立體（截面位於超平面 $w = t$ 中，因此去掉 $w$ 座標只會移動它，不會改變它）。它是我們空間中真正的立體，因此按照我們實際觀看立體的方式繪製：由這裡的普通光源照亮的玻璃。紅色按鍵掃過會以固定速率掃過 $t$ ，留下一列等步距的截面。將截面的體積 $V(t)$ 積分，就得到正八胞體的四維體積： $\int V\,dt = 2^4 = 16$ 。

展開圖：八個立方體在我們的空間中排成十字形，也就是薩爾瓦多·達利在Corpus Hypercubus（1954年）中畫過的形狀，以共有的正方形為樞紐，向第四維摺疊。平展的十字形位於超平面 $w = 1$ 中，因此它的影子是放大為 $d/(d-1)$ 倍的十字形：形狀和比例真實，大小則不是。到90°時，立方體閉合成正八胞體，十字形底部的立方體成為影子內側的小立方體。

為什麼內側的立方體很小

在標準姿態下，有兩個胞平對著燈：較近的 $w = 1$ 與較遠的 $w = -1$ 。高度為 $w$ 的胞會放大為 $d/(d - w)$ 倍，因此它們的影子是邊長分別為 $2d/(d-1)$ 和 $2d/(d+1)$ 的立方體：也就是著名的「立方體中的立方體」。其餘六個胞連接這兩個胞，影子看起來像傾斜的盒子；八個胞全都是相等的立方體。

在XW平面內旋轉，會讓四個胞循環換位—— $w-$ 到 $x+$ 到 $w+$ 到 $x-$ ——另外四個則原地旋轉，就像在燈前旋轉立方體，會將底面轉到側面，再轉到頂面。每個頂點都沿著圓移動；圓的影子是橢圓——當光線平行，或圓所在的平面通過燈時，則是線段。

同時在XY和ZW內以相同速率旋轉，會讓除了中心以外的每個點都移動，各自轉過相同角度（最多180°）。轉半圈會讓每個點到達中心的另一側——也就是映射 $-I$ 。在三維中， $-I$ 是中心對稱變換；三維中的每次旋轉都會保留一條不動的軸。

燈的光照

燈也會照亮正八胞體，就像燈照亮立方體一樣。朗伯餘弦定律在任何維度都成立：一小塊表面接收的光量，正比於其外法向量與指向燈的方向之間夾角的餘弦。正八胞體的表面就是它的8個胞，每個胞都有法向量；朝向燈的胞會受光，越正對著燈就越亮，背向燈的胞則是暗的。亮處周圍的光暈是顯示效果；亮度本身則來自這個光照模型。

點光源的光散布在周圍的球面上。在我們的空間中，球面面積隨 $r^2$ 增長，因此光強度按 $1/r^2$ 衰減；在四維中，燈周圍的球面是三維的，其大小隨 $r^3$ 增長，光強度則按 $1/r^3$ 衰減。這就是為什麼最靠近燈的部分很亮，而光在一個胞上的亮度衰減得如此快。燈在無限遠處時，就不會衰減。

燈照亮的部分，恰好就是眼睛位於燈的位置時所看見的部分：背向燈的胞位於受光胞後面。只顯示受光胞只保留這些胞（追蹤的胞位於後方時，仍會保留淡淡的輪廓）。立方體一次最多呈現3個面；正八胞體最多呈現4個胞，每條自身座標軸最多一個——就是該軸朝向燈的那一側、且燈位於其外側的胞。胞先進入時有1個，也就是外側的大立方體；面先進入時2個；邊先進入時3個；頂點先進入時4個，對應截面模式的四個按鍵。受光胞的影子不重疊地填滿整個影子的外輪廓，就像燈位於立方體正上方時，頂面的影子涵蓋了整個立方體的影子。

展開圖由同一盞燈照亮。平展在 $w = 1$ 中時，每個立方體都朝向燈；摺疊時，除了中央的立方體，其餘立方體的法向量都轉離 $w$ 方向並變暗；閉合後，只有 $w+$ 受光——也就是只保留受光胞時的影子畫面。

容易誤解的地方

內側的立方體並不比外側的小；它只是離燈更遠。
暗下來的胞沒有縮小或消失：它只是背向燈。
畫面中交叉的邊，在影子中不一定相交；影子中相交的邊，在四維中也不一定相交：正八胞體與螢幕之間經過了兩次投影。
沒有任何部分內外翻轉或彎曲：這裡每次旋轉都是剛性運動。改變的只是各部分與燈之間的距離。
這裡的第四維是空間中的一個方向，不是時間；紅色按鍵「掃過」只是利用時間，沿那個方向掃過。
截面不是影子：它是正八胞體位於某個超平面中的部分，呈現實際大小；影子則將整個物體壓到較低的維度。

歷史

Charles Howard Hinton於1888年在一本探討如何學習想像四維的書中，為正八胞體取名tesseract[1]；Edwin Abbott的Flatland（1884年）則早已透過二維生物遇上第三維的情節來作類比[2]。Thomas Banchoff的電腦影片及著作Beyond the Third Dimension，展示了正八胞體的影子、截面與展開圖在螢幕上旋轉的樣子[3]。

參考資料

C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

延伸閱讀: 維基百科: Tesseract (英文).