Тессеракт: интерактивное исследование

Тессеракт в этой визуализации

Тессеракт — множество точек $(x, y, z, w)$ , каждая координата которых лежит между $-1$ и $1$ : куб с ещё одним направлением. Перемещая точку, получаем отрезок, перемещая отрезок — квадрат, квадрат — куб, а куб в четвёртом направлении, перпендикулярном остальным трём, — тессеракт. На каждом шаге число вершин удваивается; у $n$ -мерного куба $\binom{n}{k}2^{n-k}$ граней размерности $k$ , поэтому у тессеракта 16 вершин, 32 ребра, 24 квадрата и 8 кубов — его ячеек. Эти 8 ячеек образуют его границу, как 6 квадратов образуют поверхность куба.

Что показано на изображении

Большое изображение — это тень. Лампа расположена на оси $w$ на расстоянии $d$ от центра, и каждая точка тессеракта отбрасывает тень в наше пространство $w = 0$ :

(x,\,y,\,z,\,w)\ \longmapsto\ \frac{d}{d-w}\,(x,\,y,\,z)

Это центральная проекция — четырёхмерный аналог лампы над проволочным кубом, отбрасывающим тень на стол; этот куб показан на экране в верхней части панели. Тень — трёхмерный объект; затем экран показывает её с одной стороны, выполняя второе проецирование. Перетаскивание изображения меняет только эту вторую проекцию.

Панель поворачивает сам тессеракт. В четырёх измерениях вращение происходит в плоскости: из шести координатных плоскостей три, содержащие $w$ (XW, YW, ZW), меняют форму тени; повороты в XY, XZ и YZ лишь поворачивают тень — это и делает перетаскивание. XY+ZW выполняет поворот сразу в двух плоскостях.

Синяя ячейка — та, которую вы отслеживаете. Её имя, например w−, — собственная метка объекта (ячейка, у которой собственная координата $w$ равна $-1$ ), сохраняющаяся при любых поворотах. Красная кнопка Пол-оборота поворачивает тессеракт на 180° в выбранной плоскости с постоянной скоростью и оставляет траектории вершин отслеживаемой ячейки с отметками через каждые 15°, то есть через равные промежутки времени.

Переключатель режимов даёт ещё два способа взглянуть на объект. Сечение: наше пространство $w = t$ пересекает тессеракт в его текущем положении. Сечение — объёмное тело, показанное в истинном размере внутри бледной тени от параллельного света вдоль $w$ (сечение лежит в гиперплоскости $w = t$ , поэтому отбрасывание координаты $w$ перемещает его, не меняя). Это настоящее объёмное тело в нашем пространстве, поэтому оно изображено так, как мы его увидели бы: стеклянным, освещённым обычным светом здесь. Красная кнопка Проход меняет $t$ с постоянной скоростью во всём диапазоне и оставляет ряд сечений с равным шагом. Интеграл объёмов сечений $V(t)$ даёт четырёхмерный объём тессеракта: $\int V\,dt = 2^4 = 16$ .

Развёртка: восемь кубов, выложенных в нашем пространстве крестом, — форма, которую Сальвадор Дали изобразил на картине Corpus Hypercubus (1954), — складываются вокруг общих квадратов в четвёртое измерение. Развёрнутый крест лежит в гиперплоскости $w = 1$ , поэтому его тень — это крест, увеличенный в $d/(d-1)$ раз: форма и пропорции верны, но размер — нет. При 90° кубы замыкаются в тессеракт, а нижний куб креста становится маленьким кубом внутри тени.

Почему внутренний куб маленький

В стандартном положении две ячейки расположены плашмя относительно лампы: $w = 1$ — ближняя и $w = -1$ — дальняя. Ячейка на высоте $w$ увеличивается в $d/(d - w)$ раз, поэтому их тени — кубы с рёбрами $2d/(d-1)$ и $2d/(d+1)$ : знаменитый куб в кубе. Остальные шесть ячеек соединяют их друг с другом, и их тени выглядят как скошенные объёмные тела; все восемь — равные кубы.

Поворот в плоскости XW циклически перемещает четыре ячейки — от $w-$ к $x+$ , затем к $w+$ и к $x-$ — и поворачивает остальные четыре на месте, подобно тому как при повороте куба перед лампой его нижняя грань перемещается вбок, а затем наверх. Каждая вершина движется по окружности; тень окружности — эллипс, а если свет параллельный либо плоскость окружности проходит через лампу — отрезок.

Одновременное вращение в XY и ZW с одинаковой скоростью перемещает каждую точку, кроме центра, поворачивая каждую на один и тот же угол (до 180°). Пол-оборота переносит каждую точку на противоположную сторону от центра — это отображение $-I$ . В трёх измерениях $-I$ — отражение относительно центра; любое вращение там оставляет неподвижной некоторую ось.

Свет лампы

Лампа также освещает тессеракт, как обычная лампа освещает куб. Косинусный закон Ламберта действует в любой размерности: участок поверхности получает свет пропорционально косинусу угла между его внешней нормалью и направлением к лампе. Поверхность тессеракта — его 8 ячеек, у каждой есть нормаль; ячейка, обращённая к лампе, освещена тем ярче, чем прямее она к ней повёрнута, а отвёрнутая ячейка темна. Ореол вокруг ярких мест — эффект отображения; сама яркость определяется этим светом.

Свет точечной лампы распределяется по сферам вокруг неё. В нашем пространстве площадь сферы растёт как $r^2$ , поэтому свет ослабевает как $1/r^2$ ; в четырёх измерениях сфера вокруг лампы трёхмерна, её размер растёт как $r^3$ , а свет ослабевает как $1/r^3$ . Поэтому ближайшая к лампе часть светится ярко, а по мере удаления по ячейке свет так быстро тускнеет. Когда лампа на бесконечности, ослабления с расстоянием нет.

Лампа освещает ровно то, что увидел бы глаз на её месте: отвёрнутые ячейки находятся за освещёнными. Режим Только освещённые ячейки оставляет только их (отслеживаемая ячейка, оказавшись сзади, остаётся в виде бледного следа). У куба одновременно видно не более 3 граней; у тессеракта — не более 4 ячеек, не более одной для каждой его собственной оси. Для каждой оси это ячейка на той её стороне, где лампа находится за этой ячейкой. Ячейкой вперёд видна 1 — большой внешний куб; гранью вперёд — 2; ребром вперёд — 3; вершиной вперёд — 4: это четыре кнопки режима сечения. Тени освещённых ячеек заполняют весь контур тени без перекрытий, подобно тому как верхняя грань куба при лампе прямо над ним отбрасывает всю его тень.

Развёртку освещает та же лампа. В развёрнутом положении в $w = 1$ каждый куб обращён к ней; при складывании каждый куб, кроме центрального, отворачивает свою нормаль от $w$ и темнеет; после замыкания освещена только ячейка $w+$ — получается изображение тени, в котором оставлены лишь освещённые ячейки.

Что легко понять неверно

Внутренний куб не меньше внешнего; он дальше от лампы.
Тёмная ячейка не уменьшилась и не исчезла: она отвёрнута от лампы.
Рёбра, пересекающиеся на изображении, не обязательно встречаются в тени, а рёбра, встречающиеся в тени, не обязательно встречаются в четырёх измерениях: между тессерактом и экраном выполняются два проецирования.
Ничто не выворачивается наизнанку и не изгибается: каждый поворот здесь сохраняет форму и размеры. Меняется лишь расстояние от каждой части до лампы.
Четвёртое измерение здесь — направление в пространстве, а не время; красная кнопка «Проход» лишь использует время для движения вдоль этого направления.
Сечение — не тень: это часть тессеракта, лежащая в одной гиперплоскости, в истинном размере, тогда как тень проецирует весь объект в пространство меньшей размерности.

История

Чарльз Говард Хинтон дал тессеракту имя в 1888 году в книге о том, как научиться представлять четыре измерения [1]; ранее Эдвин Эбботт во Флатландии (1884) уже использовал встречу двумерных существ с третьим измерением для этой аналогии [2]. Компьютерные фильмы Томаса Бэнчоффа и его книга За пределами третьего измерения показывали вращающиеся на экране тени, сечения и развёртки тессеракта [3].

Связанные понятия

Линейное преобразование · Ортогональная проекция (страница запланирована)

Источники

C. H. Hinton, A New Era of Thought, Swan Sonnenschein (1888).
E. A. Abbott, Flatland: A Romance of Many Dimensions, Seeley & Co. (1884).
T. F. Banchoff, Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library (1990).

Дополнительные материалы: Википедия: Tesseract (Английский).