Geometri hiperbolik

Gambar ini adalah peta bidang hiperbolik, yang membentang tanpa batas ke segala arah, seperti bidang datar. Petanya adalah cakram Poincaré: seluruh bidang termuat di dalam lingkaran; lingkaran itu sendiri, bertanda tak hingga, bukan bagian dari bidang. Semua ubin berukuran sama pada bidang dan hanya tampak mengecil ke arah tepi karena petanya. Peta menggambar bidang yang sama dengan dua cara lain, dengan panjang, sudut, dan luas yang sama.

Saat pejalan melangkah keluar dengan langkah-langkah yang sama panjang, langkahnya tampak makin pendek dalam gambar. Potongan kecil $|dz|$ pada gambar di titik $z$ mewakili panjang

pada bidang, yang bertambah tanpa batas saat $z$ mendekati tepi. Berjalan sejauh $d$ dari tengah hanya membawa pejalan sejauh bagian $\tanh(d/2)$ dari jarak menuju tepi dalam gambar. Tepi bukanlah dinding, melainkan tempat gambar kehabisan ruang.

Setiap titik dapat dipindahkan ke titik lain mana pun dengan gerakan yang mempertahankan panjang dan sudut; bidang memiliki kelengkungan yang sama, −1, di mana-mana. Ikuti memakai gerakan seperti itu untuk membawa pejalan kembali ke tengah.

Garis lurus adalah lintasan terpendek antara dua titik. Cakram menggambarnya sebagai busur yang bertemu tepi pada sudut siku-siku atau sebagai diameter. Busur melengkung ke arah tengah karena di sana panjang pada gambar mewakili jarak yang lebih pendek pada bidang. Dalam Klein, setiap garis berupa tali busur lurus, tetapi sudut umumnya terdistorsi di luar tengah. Dalam Setengah bidang, garis berupa setengah lingkaran yang berdiri pada tepi bawah atau sinar vertikal, dan sudut digambar dengan benar, seperti dalam cakram. Tidak ada peta datar yang sekaligus dapat menggambar garis lurus dan mempertahankan sudut, karena gambar itu akan mengikuti geometri bidang datar.

Jumlah sudut segitiga kurang dari 180°, dan selisihnya, dalam radian, adalah luasnya:

Saat ketiga titik sudut mendekati tiga titik berbeda pada tepi, ketiga sudut menuju 0 dan luasnya menuju π, luas terbesar yang mungkin dimiliki segitiga. Jadi, segitiga tidak dapat diperbesar sambil mempertahankan sudutnya. Dua segitiga dengan sudut-sudut yang sama adalah kongruen; tidak ada segitiga sebangun dengan ukuran berbeda.

Dalam Sejajar, garis melalui P berwarna merah saat memotong ℓ dan biru saat tidak. Jika P berada di luar ℓ, tak hingga banyak garis melalui P tidak memotong ℓ. Batasnya adalah dua garis biru melalui kedua ujung ℓ; keduanya juga tidak memotong ℓ karena ujung-ujung itu berada di tak hingga. Masing-masing membentuk sudut kesejajaran dengan garis tegak lurus dari P,

dengan $d$ sebagai jarak P ke ℓ. Saat P mendekati ℓ, Π menuju 90°, seperti pada bidang datar; jauh dari ℓ, nilainya menuju 0. Tidak satu pun garis yang menghindari ℓ mempertahankan jarak tetap darinya. Kedua garis batas mendekati ℓ ke arah salah satu ujung, sedangkan setiap garis lain yang menghindari ℓ menjauhinya di kedua sisi garis tegak lurus bersama.

Kurva merah putus-putus dalam Berjalan adalah lingkaran berpusat di titik awal yang melalui pejalan. Lingkaran berjari-jari $r$ memiliki keliling

yang tumbuh secara eksponensial, sedangkan pada bidang datar nilainya $2\pi r$. Ruang tambahan terlihat pada ubin: setiap lapisan cincin mengelilingi tengah memuat jauh lebih banyak ubin daripada lapisan di dalamnya.

Pengubinan $\{p, q\}$ terdiri atas poligon beraturan bersisi $p$, dengan $q$ poligon di setiap titik sudut. Pengubinan ini hiperbolik jika dan hanya jika $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolai Lobachevsky dan János Bolyai menerbitkan geometri ini secara terpisah sekitar tahun 1830.