Гиперболическая геометрия

Изображение — карта гиперболической плоскости, бесконечно простирающейся во все стороны, как евклидова плоскость. Это диск Пуанкаре: вся плоскость помещается внутри окружности; сама окружность, отмеченная как бесконечность, ей не принадлежит. На плоскости все плитки одинакового размера; к границе они кажутся меньше лишь из-за карты. Карта изображает ту же плоскость ещё двумя способами, с теми же длинами, углами и площадями.

Когда пешеход идёт наружу равными шагами, на изображении шаги кажутся всё короче. Малый участок $|dz|$ изображения в точке $z$ представляет длину

на плоскости, которая неограниченно растёт, когда $z$ приближается к границе. Пройдя расстояние $d$ от центра, пешеход преодолевает на изображении лишь долю $\tanh(d/2)$ пути до границы. Граница — не стена, а место, где у изображения кончается пространство.

Любую точку можно перенести в любую другую движением, сохраняющим длины и углы; кривизна плоскости везде одинакова и равна −1. Следовать использует такое движение, чтобы вернуть пешехода в центр.

Прямые — кратчайшие пути между точками. В диске они изображены дугами, встречающими границу под прямым углом, или диаметрами. Они выгнуты к центру, потому что там одна и та же длина на изображении представляет меньшее расстояние на плоскости. На карте Клейн каждая прямая — прямая хорда, но вне центра углы обычно искажены. На карте Полуплоскость прямые — полуокружности, стоящие на нижней границе, или вертикальные лучи; углы верны, как и в диске. Никакая плоская карта не может одновременно изображать прямые прямыми и сохранять углы: иначе изображение подчинялось бы евклидовой геометрии.

Сумма углов треугольника меньше 180°, а недостающая величина, выраженная в радианах, равна его площади:

Когда три вершины приближаются к трём разным точкам границы, все три угла стремятся к 0, а площадь — к π, наибольшей возможной площади треугольника. Поэтому треугольник нельзя увеличить, сохранив его углы. Два треугольника с одинаковыми углами равны; подобных треугольников разных размеров не бывает.

В режиме Параллели прямая через P красная, когда пересекает ℓ, и синяя, когда не пересекает. Если P вне ℓ, бесконечно много прямых через P не пересекают ℓ. Границы этого семейства — две синие прямые через концы ℓ; они тоже не пересекают ℓ, поскольку концы находятся на бесконечности. Каждая образует с перпендикуляром из P угол параллельности

где $d$ — расстояние от P до ℓ. Когда P приближается к ℓ, Π стремится к 90°, как на евклидовой плоскости; вдали от ℓ — к 0. Ни одна прямая, не пересекающая ℓ, не остаётся на постоянном расстоянии от неё. Две граничные прямые сближаются с ℓ у одного конца, а любая другая непересекающаяся с ℓ прямая удаляется от неё по обе стороны общего перпендикуляра.

Красная пунктирная кривая в режиме Ходьба — окружность с центром в начале пути, проходящая через пешехода. Длина окружности радиуса $r$ равна

и растёт экспоненциально, тогда как на евклидовой плоскости она равна $2\pi r$. Дополнительное пространство видно по плиткам: каждое кольцо вокруг центра содержит гораздо больше плиток, чем кольцо внутри него.

Замощение $\{p, q\}$ состоит из правильных многоугольников с $p$ сторонами, по $q$ в каждой вершине. Оно гиперболическое тогда и только тогда, когда $1/p + 1/q < 1/2$.

Николай Лобачевский и Янош Бойяи независимо опубликовали эту геометрию около 1830 года.