双曲几何

画面是双曲平面的一张地图。双曲平面和普通平面一样，向各个方向无限延伸。这张地图是庞加莱圆盘：整个平面装在圆里，圆本身（标着“无穷远”）不属于平面。所有瓦片在平面上一样大；越靠近边看起来越小，只是地图的画法。“地图”还能用另外两种方式画同一张平面，长度、角度和面积都和圆盘里一样。

人往外走同样长的步子，在图上却越走越短。图上点$z$处长$|dz|$的一小段，代表平面上的长度

$z$越靠近边，这个长度越大，没有上限。从中心往外走$d$，人只到了从中心到边的$\tanh(d/2)$处。边不是一堵墙，而是画面没有地方再画的地方。

任何一点都能通过一次保持长度和角度的运动移到任何别的点，平面处处曲率都是−1。“跟上”就是用这样的运动把人移回中间。

直线是两点之间最短的路。圆盘把直线画成和盘边垂直相交的圆弧，或者直径。它们向中心鼓，是因为越靠近中心，图上同样的长度代表平面上越短的距离。换成“克莱因”，每条直线都是直的弦，但离开中心，角度通常会失真。换成“半平面”，直线是立在底边上的半圆或竖直的射线，角和圆盘里一样画得准。没有一张平面上的地图能同时把直线画直、把角画准，否则图上的几何就成了普通平面的几何。

三角形的三个角加起来不到180°，差的那一块（用弧度计）就是它的面积：

三个顶点趋向盘边三个不同的点时，三个角都趋于0，面积趋于π，任何三角形都不会比它更大。所以三角形不能保持角度放大。角度相同的两个三角形全等，没有大小不同的相似三角形。

在“平行”里，过P的直线碰到ℓ时是红的，碰不到时是蓝的。P不在ℓ上时，过P有无数条直线碰不到ℓ。分界是两条过ℓ端点的蓝线，它们也碰不到ℓ，因为端点在无穷远。两条蓝线和从P出发的垂线的夹角，叫平行角

其中$d$是P到ℓ的距离。P靠近ℓ时，Π趋向普通平面的90°；离得很远时趋向0。碰不到ℓ的直线都不和ℓ保持固定距离。两条分界线朝一头和ℓ越来越近；其余碰不到ℓ的直线，在一条公垂线两边都离ℓ越来越远。

走模式里红色的虚线，是以起点为圆心、经过人的圆。半径$r$的圆周长是

随半径指数增长；普通平面上是$2\pi r$。多出来的地方在瓦片上看得见：绕着中心的每一圈瓦片，都比里面那一圈多出许多块。

镶嵌$\{p, q\}$由正$p$边形组成，每个顶点$q$块。它是双曲的，当且仅当$1/p + 1/q < 1/2$。

罗巴切夫斯基和亚诺什·鲍耶在1830年前后各自独立地发表了这种几何。