雙曲幾何

畫面是雙曲平面的一張地圖。雙曲平面和一般平面一樣，向各個方向無限延伸。這張地圖是龐加萊圓盤：整個平面都裝在圓內，標著「無窮遠」的圓周本身不屬於平面。所有磚塊在平面中都一樣大；越靠邊界看起來越小，只是地圖的畫法所致。地圖還能用另外兩種方式畫出同一個平面，長度、角度和面積都相同。

行走者向外走同樣長的步子，在圖上卻顯得越來越短。圖中點$z$附近長度為$|dz|$的一小段，代表雙曲平面上的長度

當$z$靠近邊界，這個長度會無限增大。從中央向外走距離$d$，在圖上只前進了從中央到邊界距離的$\tanh(d/2)$。邊界不是一道牆，而是圖上再也擠不出空間的地方。

任何一點都能藉由保持長度與角度的運動移到另一點，平面各處的曲率皆為−1。跟隨就是利用這樣的運動，把行走者帶回中央。

直線是兩點之間最短的路徑。圓盤把直線畫成與邊界垂直相交的圓弧，或圓盤的直徑。圓弧向中央彎，是因為越靠近中央，圖上同樣長度代表的雙曲距離越短。在克萊因模型中，每條直線都是筆直的弦，但離開中央後，角度通常會失真。在半平面模型中，直線是立在底邊上的半圓，或垂直的射線，角度與圓盤模型一樣準確。沒有一張平面的地圖能同時把直線畫直、把角度畫準，否則圖就會遵循一般平面的幾何。

三角形內角和小於180°，差值以弧度計，就是它的面積：

當三個頂點分別趨近邊界上三個不同的點，三個角都趨近0，面積則趨近任何三角形所能達到的最大值π。因此，不能保持角度不變而放大三角形。角度相同的兩個三角形全等，不存在大小不同的相似三角形。

在平行線模式中，通過P的直線與ℓ相交時為紅色，不相交時為藍色。P不在ℓ上時，有無限多條通過P的直線不與ℓ相交。分界是通過ℓ兩端的兩條藍線；因為端點在無窮遠，它們也不與ℓ相交。這兩條線各自與從P出發的垂線所夾的角，就是平行角

其中$d$是P到ℓ的距離。P靠近ℓ時，Π趨近一般平面中的90°；P遠離ℓ時，Π趨近0。不與ℓ相交的直線，沒有一條會和ℓ保持固定距離。兩條分界線朝其中一端逐漸靠近ℓ；其餘不與ℓ相交的直線，則在公垂線的兩側都逐漸遠離ℓ。

行走模式中的紅色虛線，是以起點為圓心、通過行走者的圓。半徑$r$的圓，其周長為

隨半徑呈指數成長；一般平面上的周長則是$2\pi r$。多出來的空間可從磚塊看出：繞著中央的每一圈磚塊，都比內側那圈多出許多。

鑲嵌$\{p, q\}$由正$p$邊形組成，每個頂點有$q$塊相接。它是雙曲鑲嵌，若且唯若$1/p + 1/q < 1/2$。

尼古拉・羅巴切夫斯基與亞諾什・鮑耶在1830年前後各自獨立發表了這種幾何。