الهندسة الزائدية

الصورة خريطة للمستوى الزائدي، الذي يمتد بلا نهاية في كل اتجاه، مثل المستوى المسطح. الخريطة هي قرص بوانكاريه: المستوى كله داخل الدائرة، أما محيطها، المسمّى اللانهاية، فليس جزءًا منه. جميع البلاطات متساوية الحجم في المستوى، وتبدو أصغر قرب الحافة بسبب الخريطة وحدها. يرسم خيار خريطة المستوى نفسه بطريقتين أخريين، بالأطوال والزوايا والمساحات نفسها.

حين يخطو الماشي إلى الخارج بخطوات متساوية، تبدو الخطوات أقصر فأقصر في الصورة. جزء صغير ⁦$|dz|$⁩ من الصورة عند النقطة ⁦$z$⁩ يمثّل طولًا مقداره

في المستوى، ينمو بلا حدّ كلما اقتربت ⁦$z$⁩ من الحافة. قطع مسافة ⁦$d$⁩ من الوسط إلى الخارج لا يوصل الماشي في الصورة إلا إلى النسبة ⁦$\tanh(d/2)$⁩ من الطريق نحو الحافة. الحافة ليست جدارًا، بل الموضع الذي تنفد فيه المساحة المتاحة في الصورة.

يمكن نقل أي نقطة إلى أي نقطة أخرى بحركة تحافظ على الأطوال والزوايا، وانحناء المستوى واحد في كل مكان، وهو ⁦−1⁩. يستخدم خيار متابعة حركة كهذه لإعادة الماشي إلى الوسط.

المستقيمات هي أقصر الطرق بين النقاط. يرسمها القرص أقواسًا تلتقي الحافة بزاوية قائمة، أو أقطارًا. تنحني نحو الوسط لأن الطول في الصورة يمثّل هناك مسافة أقصر في المستوى. في كلاين يظهر كل مستقيم وترًا مستقيمًا، لكن الزوايا تتشوّه عادة بعيدًا عن الوسط. وفي نصف مستوى تكون المستقيمات أنصاف دوائر قائمة على الحافة السفلى، أو أنصاف مستقيمات رأسية، وتُرسم الزوايا صحيحة كما في القرص. لا يمكن لخريطة مسطحة أن تجعل الخطوط مستقيمة والزوايا صحيحة معًا، وإلا لخضعت الصورة لهندسة المستوى المسطح.

مجموع زوايا المثلث أقل من ⁦180°⁩، ومقدار النقص، بالراديان، هو مساحته:

حين تقترب الرؤوس الثلاثة من ثلاث نقاط مختلفة على الحافة، تؤول الزوايا كلها إلى 0 والمساحة إلى ⁦π⁩، وهي أكبر مساحة ممكنة لمثلث. لذلك لا يمكن تكبير مثلث مع الحفاظ على زواياه. مثلثان لهما الزوايا نفسها متطابقان؛ فلا توجد مثلثات متشابهة بأحجام مختلفة.

في توازٍ يكون المستقيم المارّ بـ ⁦P⁩ أحمر حين يقطع ⁦ℓ⁩ وأزرق حين لا يقطعه. إذا كانت ⁦P⁩ خارج ⁦ℓ⁩، فإن عددًا لا نهائيًا من المستقيمات المارّة بها لا يقطع ⁦ℓ⁩. حدّا هذا النطاق هما المستقيمان الأزرقان المارّان بطرفي ⁦ℓ⁩؛ وهما أيضًا لا يقطعانه لأن الطرفين عند اللانهاية. يصنع كل منهما مع العمود من ⁦P⁩ زاوية التوازي

حيث ⁦$d$⁩ هي المسافة من ⁦P⁩ إلى ⁦ℓ⁩. كلما اقتربت ⁦P⁩ من ⁦ℓ⁩ اقتربت ⁦Π⁩ من ⁦90°⁩، كما في المستوى المسطح؛ وكلما ابتعدت اقتربت الزاوية من 0. لا يبقى أي مستقيم لا يقطع ⁦ℓ⁩ على مسافة ثابتة منه. يقترب المستقيمان الحدّيان من ⁦ℓ⁩ نحو أحد الطرفين، بينما يبتعد كل مستقيم آخر لا يقطعه عنه على جانبي عمود مشترك.

المنحنى الأحمر المتقطع في مشي هو الدائرة التي مركزها نقطة البداية وتمرّ بالماشي. دائرة نصف قطرها ⁦$r$⁩ محيطها

وينمو أُسّيًا، بينما يساوي ⁦$2\pi r$⁩ في المستوى المسطح. يظهر الحيّز الإضافي في البلاطات: كل حلقة حول الوسط تضم بلاطات أكثر بكثير من الحلقة التي بداخلها.

يتكوّن التبليط ⁦$\{p, q\}$⁩ من مضلعات منتظمة، لكل منها ⁦$p$⁩ أضلاع، ويلتقي ⁦$q$⁩ منها عند كل رأس. يكون زائدِيًا إذا وفقط إذا ⁦$1/p + 1/q < 1/2$⁩.

نشر نيكولاي لوباتشيفسكي ويانوش بوياي هذه الهندسة كلٌّ على حدة نحو عام 1830.