双曲幾何学

図は双曲平面の地図です。双曲平面は平らな平面と同じく、あらゆる方向に無限に広がっています。この地図はポアンカレ円板で、平面全体が円の内側に収まります。「無限遠」と記した円周は平面に含まれません。タイルは平面内ではすべて同じ大きさで、縁ほど小さく見えるのは地図の描き方によるものです。地図では、長さ・角度・面積を変えずに、同じ平面を別の2通りでも描けます。

人が同じ長さの歩幅で外へ進むと、図の上では一歩がどんどん短く見えます。図の点$z$での短い部分$|dz|$は、双曲平面では次の長さを表します。

$z$が縁に近づくと、この長さは限りなく大きくなります。中央から距離$d$だけ外へ歩いても、図では縁までの距離の$\tanh(d/2)$だけしか進めません。縁は壁ではなく、地図に描く余地が尽きる場所です。

どの点も、長さと角度を保つ運動によってほかのどの点にでも移せます。平面の曲率はどこでも同じ−1です。追従は、このような運動で人を中央に戻します。

直線は2点を結ぶ最短の道です。円板では、縁と直角に交わる円弧か直径として描かれます。中央のほうへ曲がるのは、そこでは図の同じ長さが表す平面内の距離が短いからです。クラインでは、すべての直線がまっすぐな弦になりますが、中央を離れると一般に角度がゆがみます。半平面では、直線は下の縁に立つ半円か垂直な半直線で、角度は円板と同じく正確に描かれます。直線をまっすぐ、角度を正確に同時に描く平らな地図はありません。そう描けるなら、図は平らな幾何学に従ってしまうからです。

三角形の角度の合計は180°より小さく、不足分をラジアンで測った値が面積です。

3つの頂点が縁上の異なる3点に近づくと、すべての角度は0に、面積は三角形の最大値であるπに近づきます。したがって、角度を保ったまま三角形を拡大することはできません。角度が同じ2つの三角形は合同で、大きさの違う相似な三角形は存在しません。

平行線では、Pを通る直線はℓと交わると赤、交わらないと青です。Pがℓの外にあると、Pを通りℓと交わらない直線は無数にあります。その境界は、ℓの両端を通る2本の青い直線です。両端は無限遠にあるので、この2本もℓと交わりません。それぞれがPからの垂線となす角を、平行角といいます。

ここで$d$はPからℓまでの距離です。Pがℓに近づくとΠは平らな平面の90°に近づき、遠く離れると0に近づきます。ℓと交わらない直線で、ℓと一定の距離を保つものはありません。境界の2本は一方の端へ向かうほどℓに近づきます。それ以外の交わらない直線は、共通垂線の両側でℓから離れていきます。

歩くの赤い破線は、出発点を中心に人を通る円です。半径$r$の円の円周は次の式で表されます。

この円周は指数的に増えます。一方、平らな平面では$2\pi r$です。余分な広さはタイルに見えます。中央を囲む各輪には、その内側の輪よりずっと多くのタイルが入ります。

敷き詰め$\{p, q\}$は正$p$角形からなり、各頂点に$q$個が集まります。双曲的になるのは$1/p + 1/q < 1/2$のとき、かつそのときに限ります。

ニコライ・ロバチェフスキーとヤーノシュ・ボーヤイが、1830年ごろ、それぞれ独立にこの幾何学を発表しました。