쌍곡기하학

그림은 평평한 평면처럼 모든 방향으로 끝없이 펼쳐지는 쌍곡평면의 지도입니다. 이 지도는 푸앵카레 원판입니다. 평면 전체가 원 안에 들어가며, 무한대라고 표시된 원둘레 자체는 평면에 포함되지 않습니다. 평면에서 모든 타일은 같은 크기입니다. 경계로 갈수록 작아 보이는 것은 지도 때문입니다. 지도는 길이, 각, 넓이가 같은 이 평면을 다른 두 방식으로도 그립니다.

사람이 바깥으로 같은 길이의 걸음을 옮기면 그림에서는 걸음이 점점 짧아 보입니다. 그림의 점 $z$에서 짧은 조각 $|dz|$이 나타내는 평면 위 길이는

이며, $z$가 경계에 가까워질수록 한없이 커집니다. 가운데에서 거리 $d$만큼 걸어도 그림에서는 경계까지 가는 길의 $\tanh(d/2)$만큼만 나아갑니다. 경계는 벽이 아니라 그림에 더는 담을 공간이 없는 곳입니다.

길이와 각을 보존하는 움직임으로 어느 점이든 다른 어느 점으로든 옮길 수 있습니다. 평면의 곡률은 어디서나 −1로 같습니다. 따라가기는 이런 움직임으로 사람을 가운데로 데려옵니다.

직선은 두 점 사이의 가장 짧은 길입니다. 원판에서는 경계와 직각으로 만나는 호 또는 지름으로 그려집니다. 가운데 쪽으로 휘는 이유는 그곳에서 그림의 같은 길이가 평면의 더 짧은 거리를 나타내기 때문입니다. 클라인에서는 모든 직선이 곧은 현이지만 가운데를 벗어나면 대체로 각이 왜곡됩니다. 반평면에서는 직선이 아래쪽 경계에 놓인 반원 또는 수직 반직선이며, 원판처럼 각을 정확하게 그립니다. 평면 지도에서 직선을 곧게 그리면서 각도 모두 정확하게 나타낼 수는 없습니다. 그럴 수 있다면 그림이 평평한 평면의 기하학을 따르게 되기 때문입니다.

삼각형의 내각의 합은 180°보다 작고, 모자란 양을 라디안으로 나타내면 그 넓이가 됩니다.

세 꼭짓점이 경계의 서로 다른 세 점에 가까워지면 세 각은 모두 0으로, 넓이는 삼각형이 가질 수 있는 최대값 π로 다가갑니다. 따라서 각을 유지하면서 삼각형을 확대할 수 없습니다. 각이 같은 두 삼각형은 합동이며, 크기가 다른 닮은 삼각형은 없습니다.

평행선에서 P를 지나는 직선은 ℓ와 만나면 빨강, 만나지 않으면 파랑입니다. P가 ℓ 밖에 있으면 P를 지나며 ℓ와 만나지 않는 직선은 무한히 많습니다. 그 범위의 경계는 ℓ의 양 끝을 지나는 두 파란 직선입니다. 끝점은 무한대에 있으므로 이 두 직선도 ℓ와 만나지 않습니다. 각각 P에서 내린 수선과 이루는 평행각은

이며, $d$는 P에서 ℓ까지의 거리입니다. P가 ℓ에 가까워지면 Π는 평평한 평면에서의 90°로 다가가고, 멀어지면 0으로 다가갑니다. ℓ와 만나지 않는 직선 중 ℓ와 일정한 거리를 유지하는 것은 없습니다. 경계를 이루는 두 직선은 한쪽 끝에서 ℓ에 가까워집니다. ℓ와 만나지 않는 나머지 직선은 공통수선의 양쪽에서 ℓ로부터 멀어집니다.

걷기의 빨간 점선은 출발점을 중심으로 사람을 지나는 원입니다. 반지름이 $r$인 원의 둘레는

이며 지수적으로 증가합니다. 평평한 평면에서는 $2\pi r$입니다. 늘어난 공간은 타일에서 드러납니다. 가운데를 둘러싼 고리마다 그 안쪽 고리보다 훨씬 많은 타일이 들어갑니다.

타일링 $\{p, q\}$는 정$p$각형으로 이루어지며, 꼭짓점마다 $q$개가 모입니다. $1/p + 1/q < 1/2$일 때, 그리고 그때만 쌍곡 타일링입니다.

니콜라이 로바쳅스키와 야노시 보여이는 1830년 무렵 서로 독립적으로 이 기하학을 발표했습니다.