Géométrie hyperbolique

L’image est une carte du plan hyperbolique, qui s’étend à l’infini dans toutes les directions, comme le plan plat. C’est le disque de Poincaré : tout le plan tient à l’intérieur du cercle ; le cercle lui-même, marqué « infini », n’en fait pas partie. Toutes les tuiles ont la même taille dans le plan. Elles ne semblent plus petites près du bord qu’à cause de la carte. Carte dessine le même plan de deux autres façons, avec les mêmes longueurs, angles et aires.

Quand le marcheur avance vers l’extérieur à pas égaux, ses pas semblent de plus en plus courts dans l’image. Un petit segment $|dz|$ de l’image au point $z$ représente une longueur

dans le plan, qui croît sans limite lorsque $z$ approche du bord. Marcher sur une distance $d$ depuis le centre ne mène qu’à la fraction $\tanh(d/2)$ du chemin jusqu’au bord dans l’image. Le bord n’est pas un mur, mais l’endroit où l’image n’a plus de place.

Tout point peut être amené en tout autre par un mouvement qui conserve longueurs et angles. Le plan a partout la même courbure, −1. Suivre utilise un tel mouvement pour ramener le marcheur au centre.

Les droites sont les plus courts chemins entre deux points. Le disque les dessine comme des arcs rencontrant le bord à angle droit, ou comme des diamètres. Elles se courbent vers le centre parce qu’une longueur dans l’image y représente moins de distance dans le plan. Dans Klein, chaque droite est une corde rectiligne, mais hors du centre les angles sont généralement déformés. Dans Demi-plan, les droites sont des demi-cercles posés sur le bord inférieur ou des demi-droites verticales ; les angles sont fidèles, comme dans le disque. Aucune carte plane ne peut rendre à la fois les droites rectilignes et les angles fidèles, sinon l’image suivrait la géométrie du plan plat.

La somme des angles d’un triangle est inférieure à 180°, et le défaut, mesuré en radians, est son aire :

Lorsque les trois sommets approchent trois points différents du bord, les trois angles tendent vers 0 et l’aire vers π, la plus grande aire possible pour un triangle. On ne peut donc pas agrandir un triangle en conservant ses angles. Deux triangles qui ont les mêmes angles sont congruents ; il n’existe pas de triangles semblables de tailles différentes.

Dans Parallèles, une droite passant par P est rouge lorsqu’elle rencontre ℓ et bleue sinon. Si P n’est pas sur ℓ, une infinité de droites passant par P évitent ℓ. Les limites sont les deux droites bleues qui passent par les extrémités de ℓ : elles aussi évitent ℓ, car ces extrémités sont à l’infini. Chacune fait avec la perpendiculaire menée depuis P l’angle de parallélisme

où $d$ est la distance de P à ℓ. Quand P approche de ℓ, Π tend vers les 90° du plan plat ; loin de ℓ, il tend vers 0. Aucune des droites qui évitent ℓ ne reste à distance constante de celle-ci. Les deux droites limites se rapprochent de ℓ vers une extrémité ; toute autre droite qui évite ℓ s’en éloigne de part et d’autre d’une perpendiculaire commune.

La courbe rouge en pointillé dans Marcher est le cercle centré au départ et passant par le marcheur. Un cercle de rayon $r$ a pour circonférence

qui croît exponentiellement, contre $2\pi r$ dans le plan plat. L’espace supplémentaire se voit dans les tuiles : chaque couronne autour du centre en contient bien plus que celle à l’intérieur.

Le pavage $\{p, q\}$ est composé de polygones réguliers à $p$ côtés, avec $q$ polygones à chaque sommet. Il est hyperbolique si et seulement si $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolaï Lobatchevski et János Bolyai ont publié cette géométrie indépendamment vers 1830.