Geometría hiperbólica

La imagen es un mapa del plano hiperbólico, que se extiende indefinidamente en todas las direcciones, como el plano euclídeo. El mapa es el disco de Poincaré: todo el plano cabe dentro de la circunferencia; la propia circunferencia, marcada como infinito, no forma parte de él. Todas las piezas tienen el mismo tamaño en el plano y solo parecen más pequeñas cerca del borde por efecto del mapa. Mapa dibuja el mismo plano de otras dos formas, con las mismas longitudes, ángulos y áreas.

Cuando el caminante avanza con pasos iguales, estos parecen cada vez más cortos en la imagen. Un segmento pequeño $|dz|$ de la imagen en el punto $z$ representa una longitud

del plano, que crece sin límite cuando $z$ se acerca al borde. Al caminar una distancia $d$ desde el centro, el caminante solo recorre la fracción $\tanh(d/2)$ del camino hasta el borde en la imagen. El borde no es una pared, sino el lugar donde la imagen se queda sin espacio.

Cualquier punto puede llevarse a cualquier otro mediante un movimiento que conserva longitudes y ángulos; el plano tiene la misma curvatura, −1, en todas partes. Seguir utiliza un movimiento así para devolver al caminante al centro.

Las rectas son los caminos más cortos entre puntos. El disco las dibuja como arcos que cortan el borde en ángulo recto o como diámetros. Se curvan hacia el centro porque allí una longitud de la imagen representa menos distancia en el plano. En Klein, cada recta es una cuerda rectilínea, pero fuera del centro los ángulos suelen deformarse. En Semiplano, las rectas son semicircunferencias apoyadas en el borde inferior o semirrectas verticales, y los ángulos se representan fielmente, como en el disco. Ningún mapa plano puede dibujar a la vez las rectas rectilíneas y los ángulos fieles, pues entonces la imagen obedecería a la geometría euclídea.

Los ángulos de un triángulo suman menos de 180°, y lo que falta, medido en radianes, es su área:

Cuando los tres vértices se acercan a tres puntos distintos del borde, los tres ángulos tienden a 0 y el área a π, la mayor que puede tener un triángulo. Por eso no se puede ampliar un triángulo conservando sus ángulos. Dos triángulos con los mismos ángulos son congruentes: no hay triángulos semejantes de distinto tamaño.

En Paralelas, una recta que pasa por P es roja cuando corta a ℓ y azul cuando no. Si P no está en ℓ, infinitas rectas que pasan por P no la cortan. Las fronteras son las dos rectas azules que pasan por los extremos de ℓ; tampoco la cortan, pues esos extremos están en el infinito. Cada una forma con la perpendicular desde P el ángulo de paralelismo

donde $d$ es la distancia de P a ℓ. Cuando P se acerca a ℓ, Π tiende a los 90° del plano euclídeo; al alejarse, tiende a 0. Ninguna recta que evite ℓ mantiene una distancia constante a ella. Las dos rectas frontera se acercan a ℓ hacia uno de sus extremos, y cualquier otra que evite ℓ se aleja de ella a ambos lados de una perpendicular común.

La curva roja discontinua de Caminar es la circunferencia centrada en el inicio que pasa por el caminante. Una circunferencia de radio $r$ tiene longitud

que crece exponencialmente, frente a $2\pi r$ en el plano euclídeo. El espacio adicional se ve en las piezas: cada anillo alrededor del centro contiene muchas más que el anillo interior.

El mosaico $\{p, q\}$ está formado por polígonos regulares de $p$ lados, con $q$ en cada vértice. Es hiperbólico si y solo si $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolái Lobachevski y János Bolyai publicaron esta geometría de forma independiente hacia 1830.