Geometria hiperbólica

A imagem é um mapa do plano hiperbólico, que se estende indefinidamente em todas as direções, como o plano euclidiano. O mapa é o disco de Poincaré: todo o plano cabe dentro da circunferência; a própria circunferência, marcada como infinito, não faz parte dele. Todas as peças têm o mesmo tamanho no plano e só parecem mais pequenas perto da borda por causa do mapa. Mapa desenha o mesmo plano de duas outras formas, com os mesmos comprimentos, ângulos e áreas.

Quando o caminhante avança com passos iguais, estes parecem cada vez mais curtos na imagem. Um pequeno segmento $|dz|$ da imagem no ponto $z$ representa um comprimento

no plano, que cresce sem limite à medida que $z$ se aproxima da borda. Percorrer uma distância $d$ desde o centro leva o caminhante apenas à fração $\tanh(d/2)$ do caminho até à borda na imagem. A borda não é uma parede, mas o lugar onde a imagem fica sem espaço.

Qualquer ponto pode ser levado a qualquer outro por um movimento que preserva comprimentos e ângulos; o plano tem a mesma curvatura, −1, em todo o lado. Seguir usa um movimento desses para trazer o caminhante de volta ao centro.

As retas são os caminhos mais curtos entre pontos. O disco desenha-as como arcos que encontram a borda em ângulo reto ou como diâmetros. Curvam-se para o centro porque aí um comprimento na imagem representa menos distância no plano. Em Klein, cada reta é uma corda retilínea, mas fora do centro os ângulos são geralmente deformados. Em Semiplano, as retas são semicircunferências assentes na borda inferior ou semirretas verticais, e os ângulos são representados fielmente, como no disco. Nenhum mapa plano pode desenhar ao mesmo tempo as retas retilíneas e os ângulos fiéis, pois a imagem obedeceria então à geometria euclidiana.

Os ângulos de um triângulo somam menos de 180°, e o que falta, medido em radianos, é a sua área:

Quando os três vértices se aproximam de três pontos diferentes da borda, os três ângulos tendem para 0 e a área para π, a maior área possível de um triângulo. Por isso, não se pode ampliar um triângulo mantendo os seus ângulos. Dois triângulos com os mesmos ângulos são congruentes: não existem triângulos semelhantes de tamanhos diferentes.

Em Paralelas, uma reta que passa por P é vermelha quando intersecta ℓ e azul quando não a intersecta. Se P não estiver em ℓ, há infinitas retas que passam por P sem a intersectarem. As fronteiras são as duas retas azuis que passam pelas extremidades de ℓ; também não a intersectam, pois essas extremidades estão no infinito. Cada uma faz com a perpendicular a partir de P o ângulo de paralelismo

onde $d$ é a distância de P a ℓ. Quando P se aproxima de ℓ, Π tende para os 90° do plano euclidiano; longe dela, tende para 0. Nenhuma das retas que evitam ℓ mantém uma distância constante a ela. As duas retas fronteira aproximam-se de ℓ numa das extremidades, e qualquer outra reta que evite ℓ afasta-se dela para ambos os lados de uma perpendicular comum.

A curva vermelha tracejada em Caminhar é a circunferência centrada no início que passa pelo caminhante. Uma circunferência de raio $r$ tem comprimento

que cresce exponencialmente, em vez de $2\pi r$ no plano euclidiano. O espaço adicional vê-se nas peças: cada anel à volta do centro contém muitas mais do que o anel interior.

A pavimentação $\{p, q\}$ é formada por polígonos regulares de $p$ lados, com $q$ em cada vértice. É hiperbólica se e só se $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolai Lobachevsky e János Bolyai publicaram esta geometria de forma independente por volta de 1830.