Fita de Möbius

A imagem mostra uma tira colada em anel depois de 0, 1, 2 ou 3 meias-voltas de torção. Com meia-volta é uma fita de Möbius. A pequena vista acima do painel mostra o mesmo papel cortado e estendido; ao pintar, a frente e o verso aparecem em duas filas. Aqui podes pintar a fita, fazer uma seta caminhar sobre ela e cortá-la, para ver que resultados dependem apenas de o número de meias-voltas ser par ou ímpar e quais dependem do número exato.

Ter uma só face depende de como as faces se encontram nas pontas coladas. Com um número par de meias-voltas, a frente cola-se à frente e o verso ao verso, pelo que cada face se fecha sobre si própria. O rolo dá uma volta na sua face e não consegue chegar à outra sem atravessar um bordo: duas faces. Com um número ímpar, a ponta direita da frente cola-se de pernas para o ar à ponta esquerda do verso, unindo as duas faces numa só faixa com o dobro do comprimento. Após uma volta, o rolo regressou ao início, mas na outra face; após a segunda, ambas estão pintadas. Nunca atravessou um bordo, por isso as duas faces são uma.

O rolo vê o papel de fora. A seta está impressa no papel e é visível à transparência, como a veria uma criatura que vivesse no papel. Depois de uma volta pela linha do meio de uma fita de Möbius, regressa ao início a rodar no sentido anti-horário, ao contrário da sua imagem inicial. Se estiver afastada da linha do meio, chega antes ao ponto correspondente do outro lado. Uma superfície na qual algum percurso fechado transforma o sentido horário em anti-horário chama-se não orientável. Para uma superfície no espaço habitual, isto equivale a ter uma só face. Mas a orientabilidade pertence à própria superfície: uma criatura que não possa sair do papel também a pode descobrir ao caminhar.

Com Distância ao meio em 1, a seta caminha ao longo de um bordo. Numa fita de Möbius, uma volta leva ao que parece ser o outro bordo e só duas voltas levam ao início: há um só bordo. Com três meias-voltas de torção, esse bordo forma um nó de trevo, o nó mais simples. Com um número par $k$ há dois bordos, entrelaçados $k/2$ vezes.

Corta uma fita de Möbius pelo meio e ela não se separa em duas. O papel de cada lado do corte liga-se na união, o lado de cima ao de baixo, formando uma fita comprida que dá duas voltas, com duas faces e dois bordos. Os bordos estão entrelaçados duas vezes. Se a linha do meio for disposta num círculo plano, cada entrelaçamento corresponde a uma volta completa de torção: a fita comprida tem, portanto, duas voltas completas de torção.

Corta uma fita de Möbius a um terço da largura a partir de um bordo: a tesoura precisa de duas voltas para regressar. Na pequena vista, as duas linhas de cada lado da linha do meio unem-se na colagem num só corte. No meio fica uma fita de Möbius mais fina e as duas margens unem-se numa fita comprida; as duas peças entrelaçam-se uma vez. Numa fita com um número par de meias-voltas, cada corte fecha-se ao fim de uma volta e apenas acrescenta uma peça.

O número de meias-voltas tem, assim, duas funções. Ser par ou ímpar determina a superfície: enquanto superfícies, sem o espaço em redor, todas as fitas ímpares são iguais, com uma face e um bordo; as pares também são todas iguais entre si. O número exato determina como a superfície se situa no espaço: como os seus bordos se entrelaçam ou formam nós. Nenhum movimento no espaço consegue desfazer essas ligações sem que o papel atravesse a si próprio.

August Ferdinand Möbius e Johann Benedict Listing descobriram a fita de forma independente em 1858.