莫比乌斯带

画面上是一条纸带，扭转0、1、2或3个半圈后粘成一个环。扭一个半圈的就是莫比乌斯带。面板上方的嵌入屏是同一张纸剪开摊平的样子；涂色时，正面和背面分成上下两行。在这一页，你可以给纸带涂色，让箭头沿着它走，把它剪开，看哪些结果只取决于半扭数是奇是偶，哪些取决于半扭数本身。

纸带有几个面，取决于粘起来的两端怎样对接。半扭数是偶数时，正面粘正面，背面粘背面，每一面各自闭合。滚筒在自己那一面上走一圈，不越过边就到不了另一面：两个面。半扭数是奇数时，正面的右端上下颠倒地粘到背面的左端，两面连成一条两倍长的带子。滚一圈后，滚筒回到起点，却在另一面上；再滚一圈，两面都涂满了。它从没越过边，所以两个面其实是一个面。

滚筒是从外面看。箭头印在纸里，透过纸也看得见，就像住在纸里的生物看到的那样。沿莫比乌斯带的中线走一圈，箭头回到起点，变成了逆时针，和顺时针的影子相反；偏离中线走，它到的是中线另一侧的对应位置。有某条回路能把顺时针变成逆时针的曲面，叫作不可定向的。对普通空间里的曲面，这和只有一个面是一回事；不过可定向与否只属于曲面本身：离不开纸的生物，走一走也能发现。

把“离中线”调到1，箭头就沿着边走。在莫比乌斯带上，走一圈到了看似另一条边的地方，走两圈才回来：只有一条边。三个半扭时，这唯一的一条边打成了三叶结，最简单的结。半扭数是偶数$k$时有两条边，它们互相套了$k/2$次。

沿中线剪开莫比乌斯带，它不会断成两条。剪口两侧的纸在接缝处上侧接下侧，连成一条长带，绕两圈，有两个面、两条边。它的两条边套了两次。把长带的中线摆成平面内的圆，每套一次对应一整圈扭转，所以长带有两整圈扭转。

在莫比乌斯带上离边三分之一带宽处剪，剪刀要走两圈才回来：嵌入屏里中线两侧的两条线，在接缝处接成同一条剪线。剪完，中间留下一条更窄的莫比乌斯带，两侧的边条连成一条长带；两块套在一起一次。在偶数半扭的纸带上，每一刀走一圈就闭合，只是多出一块。

所以半扭数做了两件事。奇偶决定曲面本身：不看周围的空间，奇数半扭的纸带都是同一个曲面，一个面、一条边；偶数的也都是同一个。具体的个数决定曲面怎样放在空间里：边怎样互相套住、怎样打结。不让纸穿过自己，在空间里怎么挪也解不开。

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯和约翰·贝内迪克特·利斯廷在1858年各自独立地发现了这条带子。