Möbiusband

Das Bild zeigt einen Streifen, der nach 0, 1, 2 oder 3 halben Drehungen zu einem Ring zusammengeklebt wird. Mit einer halben Drehung ist es ein Möbiusband. Die kleine Ansicht über dem Bedienfeld zeigt dasselbe Papier aufgeschnitten und flach ausgebreitet; beim Malen erscheinen Vorder- und Rückfläche in zwei Zeilen. Hier kannst du das Band bemalen, einen Pfeil darauf herumlaufen lassen und es zerschneiden. So siehst du, welche Ergebnisse nur davon abhängen, ob die Zahl der halben Drehungen ungerade ist, und welche von der genauen Zahl abhängen.

Ob das Band eine Seite hat, hängt davon ab, wie seine Flächen an der Klebenaht zusammentreffen. Bei einer geraden Zahl halber Drehungen trifft Vorderfläche auf Vorderfläche und Rückfläche auf Rückfläche; jede schließt sich für sich. Die Walze läuft einmal auf ihrer Fläche herum und erreicht die andere nicht, ohne einen Rand zu überqueren: zwei Seiten. Bei einer ungeraden Zahl wird das rechte Ende der Vorderfläche kopfüber an das linke Ende der Rückfläche geklebt. Beide verbinden sich zu einem doppelt so langen Band. Nach einer Runde ist die Walze am Ausgangsort, aber auf der anderen Fläche; nach einer zweiten sind beide Flächen gefärbt. Sie hat nie einen Rand überquert: Die zwei Seiten sind also eine.

Die Walze betrachtet das Papier von außen. Der Pfeil ist ins Papier eingezeichnet und durch dieses hindurch sichtbar, so wie ihn ein Wesen im Papier sehen würde. Nach einer Runde entlang der Mittellinie eines Möbiusbands kehrt er an den Start zurück und dreht sich gegen den Uhrzeigersinn, während sein Schattenbild sich im Uhrzeigersinn dreht. Abseits der Mittellinie endet er stattdessen am entsprechenden Punkt auf der anderen Seite der Mittellinie. Eine Fläche, auf der ein geschlossener Weg den Uhrzeigersinn in den Gegenuhrzeigersinn verwandelt, heißt nicht orientierbar. Für eine Fläche im gewöhnlichen Raum bedeutet das zugleich Einseitigkeit. Orientierbarkeit ist aber eine Eigenschaft der Fläche selbst: Auch ein Wesen, das das Papier nicht verlassen kann, kann sie durch Herumlaufen erkunden.

Steht Abstand zur Mitte auf 1, läuft der Pfeil am Rand entlang. Auf einem Möbiusband führt eine Runde zum scheinbar anderen Rand; erst zwei Runden führen zurück: Es gibt nur einen Rand. Bei drei halben Drehungen bildet dieser eine Rand einen Kleeblattknoten, den einfachsten Knoten. Bei einer geraden Zahl $k$ gibt es zwei Ränder, die $k/2$-mal miteinander verkettet sind.

Schneidest du ein Möbiusband entlang der Mitte auf, zerfällt es nicht in zwei Teile. Das Papier beiderseits des Schnitts ist an der Naht verbunden, die obere Seite mit der unteren. So entsteht ein langes Band, das zweimal herumläuft und zwei Seiten und zwei Ränder hat. Seine beiden Ränder sind zweimal miteinander verkettet. Legt man seine Mittellinie als Kreis in einer Ebene aus, entspricht jede Verkettung einer vollen Drehung: Das lange Band hat also zwei volle Drehungen.

Schneidest du ein Möbiusband im Abstand von einem Drittel seiner Breite vom Rand auf, braucht die Schere zwei Runden bis zum Start. Die zwei Linien beiderseits der Mittellinie in der kleinen Ansicht treffen sich an der Naht zu einem einzigen Schnitt. In der Mitte bleibt ein schmaleres Möbiusband, und die beiden Randstreifen verbinden sich zu einem langen Band; die zwei Teile sind einmal verkettet. Bei einem Band mit gerader Zahl halber Drehungen schließt sich jeder Schnitt nach einer Runde und fügt einfach einen Teil hinzu.

Die Zahl der halben Drehungen erfüllt also zwei Aufgaben. Ob sie gerade oder ungerade ist, bestimmt die Fläche: Als Flächen, ohne den umgebenden Raum, sind alle ungeraden Bänder gleich, einseitig mit einem Rand; ebenso sind alle geraden Bänder untereinander gleich. Die genaue Zahl bestimmt, wie die Fläche im Raum liegt: wie ihre Ränder verkettet oder verknotet sind. Das lässt sich durch keine Bewegung im Raum auflösen, ohne dass das Papier sich selbst durchdringt.

August Ferdinand Möbius und Johann Benedict Listing entdeckten das Band 1858 unabhängig voneinander.