뫼비우스 띠

그림은 종이 띠를 반 바퀴씩 0, 1, 2, 3번 비튼 뒤 고리로 붙인 모습입니다. 반 바퀴만 비틀면 뫼비우스 띠가 됩니다. 패널 위의 작은 그림은 같은 종이를 잘라서 펼친 모습이며, 칠할 때는 앞면과 뒷면을 위아래 두 줄로 보여 줍니다. 여기서 띠를 칠하고, 화살표를 걷게 하고, 띠를 잘라 보며, 어떤 결과가 비트는 횟수의 홀짝에만 달렸고 어떤 결과가 정확한 횟수에 달렸는지 알 수 있습니다.

띠의 면이 하나인지 아닌지는 붙인 양 끝에서 앞뒤가 어떻게 이어지는지에 달려 있습니다. 반 바퀴 비틀기가 짝수 번이면 앞면은 앞면에, 뒷면은 뒷면에 붙어 각 면이 따로 닫힙니다. 롤러는 자기 면에서 한 바퀴를 돌며, 가장자리를 넘지 않고는 다른 면에 닿을 수 없습니다. 면이 두 개입니다. 홀수 번이면 앞면의 오른쪽 끝이 위아래가 뒤집힌 채 뒷면의 왼쪽 끝에 붙고, 두 면이 길이가 두 배인 하나의 띠로 이어집니다. 한 바퀴 뒤 롤러는 출발한 곳의 반대쪽 면에 있고, 두 번째 바퀴가 끝나면 앞뒤가 모두 칠해집니다. 가장자리를 한 번도 넘지 않았으므로 두 면은 사실 한 면입니다.

롤러는 종이 바깥에서 봅니다. 화살표는 종이 안에 찍혀 있고 종이를 통과해서도 보이므로, 종이 속에 사는 생물이 보는 것과 같습니다. 뫼비우스 띠의 중앙선을 따라 한 바퀴 걸으면 출발점에 돌아오지만, 시계 방향으로 도는 잔상과 달리 반시계 방향으로 돕니다. 중앙선에서 벗어나 걸으면 중앙선 반대편의 대응하는 점에 도착합니다. 어떤 닫힌 경로를 돌 때 시계 방향이 반시계 방향으로 바뀌는 곡면을 비가향 곡면, 즉 방향을 정할 수 없는 곡면이라고 합니다. 보통의 공간 안에 있는 곡면에서는 한쪽 면만 있다는 것과 같습니다. 하지만 방향을 정할 수 있는지는 곡면 자체의 성질입니다. 종이 밖으로 나갈 수 없는 생물도 걸어 다니며 알아낼 수 있습니다.

중앙선에서 거리를 1로 맞추면 화살표가 가장자리를 걷습니다. 뫼비우스 띠에서는 한 바퀴 뒤 다른 가장자리처럼 보이는 곳에 오고, 두 바퀴를 돌아야 출발점에 돌아옵니다. 가장자리가 하나뿐인 것입니다. 반 바퀴씩 세 번 비틀면 그 하나의 가장자리가 가장 단순한 매듭인 세잎매듭이 됩니다. 비트는 횟수 $k$가 짝수이면 가장자리가 두 개이며, 서로 $k/2$번 얽혀 있습니다.

뫼비우스 띠를 중앙선으로 잘라도 둘로 나뉘지 않습니다. 잘린 양쪽의 종이는 이음매에서 위쪽과 아래쪽이 이어져, 두 바퀴 도는 하나의 긴 띠가 됩니다. 이 띠에는 면 두 개와 가장자리 두 개가 있습니다. 두 가장자리는 서로 두 번 얽혀 있습니다. 중앙선을 평면의 원으로 놓으면 한 번의 얽힘이 한 바퀴 비틀림에 해당하므로, 긴 띠에는 두 바퀴 비틀림이 있습니다.

뫼비우스 띠의 가장자리에서 너비의 3분의 1만큼 들어간 곳을 자르면 가위가 두 바퀴를 돌아야 출발점에 옵니다. 작은 그림에서 중앙선 양쪽의 두 선은 이음매에서 하나의 자르는 선으로 이어집니다. 가운데에는 더 가느다란 뫼비우스 띠가 남고, 양쪽 가장자리 부분은 긴 띠로 이어집니다. 두 조각은 서로 한 번 얽혀 있습니다. 반 바퀴 비틀기가 짝수 번인 띠에서는 매번 자르는 선이 한 바퀴 뒤 닫히며, 조각이 하나씩 늘어납니다.

따라서 반 바퀴 비틀기의 횟수는 두 가지 역할을 합니다. 홀짝은 곡면 자체를 결정합니다. 주변 공간을 빼고 곡면만 보면, 홀수 번 비튼 띠는 모두 면 하나와 가장자리 하나를 가진 같은 곡면이고, 짝수 번 비튼 띠들도 서로 같은 곡면입니다. 정확한 횟수는 곡면이 공간에 어떻게 놓이는지, 즉 가장자리들이 어떻게 얽히거나 매듭지는지를 결정합니다. 종이가 자기 자신을 통과하지 않는 한 공간 안에서 아무리 움직여도 이 얽힘과 매듭을 풀 수 없습니다.

아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 1858년에 각각 독립적으로 이 띠를 발견했습니다.