Лента Мёбиуса

На рисунке — полоска, склеенная в кольцо после 0, 1, 2 или 3 полуоборотов. С одним полуоборотом это лента Мёбиуса. Маленький вид над панелью показывает ту же бумагу, разрезанную и расправленную; при окрашивании лицевая и обратная поверхности расположены в два ряда. Здесь можно красить ленту, водить по ней стрелку и разрезать её, наблюдая, какие результаты зависят лишь от чётности числа полуоборотов, а какие — от самого числа.

Число сторон зависит от того, как поверхности соединяются у склеенных концов. При чётном числе полуоборотов лицевая поверхность соединяется с лицевой, обратная с обратной: каждая замыкается на себя. Валик делает круг по своей поверхности и не может достичь другой, не перейдя через край: две стороны. При нечётном числе правый конец лицевой поверхности приклеивается вверх ногами к левому концу обратной. Они соединяются в одну полосу вдвое большей длины. После одного круга валик вернулся к месту старта, но на другой поверхности; после второго обе закрашены. Он ни разу не переходил через край, значит, две стороны — одна.

Валик смотрит на бумагу снаружи. Стрелка отпечатана в самой бумаге и видна насквозь, как её увидело бы живущее в бумаге существо. Пройдя один круг по средней линии ленты Мёбиуса, она возвращается к началу и вращается против часовой стрелки, в отличие от своего начального следа. В стороне от средней линии она приходит в соответствующую точку по другую сторону от неё. Поверхность, на которой некоторый замкнутый путь превращает вращение по часовой стрелке в обратное, называется неориентируемой. Для поверхности в обычном пространстве это равносильно односторонности. Но ориентируемость — свойство самой поверхности: существо, не способное покинуть бумагу, может обнаружить его, просто гуляя.

Если Отступ от середины равен 1 стрелка идёт вдоль края. На ленте Мёбиуса один круг приводит к тому, что кажется другим краем, а вернуться можно лишь за два круга: край один. При трёх полуоборотах этот единственный край образует простейший узел — трилистник. При чётном числе $k$ краёв два, а число их зацеплений равно $k/2$.

Разрежь ленту Мёбиуса по средней линии, и она не разделится надвое. Бумага по сторонам разреза соединена у шва, верхняя часть с нижней, в одну длинную ленту, идущую в два круга, с двумя сторонами и двумя краями. Края сцеплены дважды. Если среднюю линию уложить в плоскую окружность, каждому зацеплению соответствует полный оборот скручивания, поэтому у длинной ленты их два.

Разрежь ленту Мёбиуса на расстоянии трети её ширины от края: ножницам понадобятся два круга, чтобы вернуться. Две линии по сторонам средней линии на маленьком виде соединяются у шва в один разрез. В середине остаётся более узкая лента Мёбиуса, а две краевые полосы соединяются в длинную ленту; две части сцеплены один раз. У ленты с чётным числом полуоборотов каждый разрез замыкается за один круг и просто добавляет одну часть.

Число полуоборотов выполняет две задачи. Чётность определяет саму поверхность: как поверхности, без окружающего пространства, все нечётные ленты одинаковы, односторонние с одним краем; все чётные тоже одинаковы между собой. Точное число определяет, как поверхность расположена в пространстве: как её края сцеплены или завязаны в узлы. Никакое движение в пространстве не может их распутать, не пропуская бумагу сквозь саму себя.

Август Фердинанд Мёбиус и Иоганн Бенедикт Листинг независимо открыли эту ленту в 1858 году.