Ruban de Möbius

L’image montre une bande collée en boucle après 0, 1, 2 ou 3 demi-torsions. Avec une demi-torsion, c’est un ruban de Möbius. La petite vue au-dessus du panneau montre le même papier coupé et déplié à plat ; pendant la peinture, l’avant et l’arrière apparaissent sur deux rangées. Ici, tu peux peindre le ruban, y faire marcher une flèche et le couper. Tu vois ainsi quels résultats dépendent seulement du caractère pair ou impair du nombre de demi-torsions, et lesquels dépendent du nombre lui-même.

Le nombre de faces dépend de la façon dont elles se rejoignent aux extrémités collées. Avec un nombre pair de demi-torsions, l’avant rejoint l’avant et l’arrière rejoint l’arrière : chaque face se referme sur elle-même. Le rouleau fait un tour sur sa face et ne peut atteindre l’autre sans franchir de bord : deux faces. Avec un nombre impair, l’extrémité droite de l’avant rejoint l’extrémité gauche de l’arrière, tête en bas. Les deux faces forment alors une seule bande deux fois plus longue. Après un tour, le rouleau est revenu au départ, mais sur l’autre face ; après un deuxième tour, les deux faces sont peintes. Il n’a jamais franchi de bord : les deux faces n’en font donc qu’une.

Le rouleau voit le papier de l’extérieur. La flèche est imprimée dans le papier et visible par transparence, comme la verrait une créature vivant dans le papier. Après un tour le long de la ligne médiane d’un ruban de Möbius, elle revient au départ en tournant dans le sens antihoraire, contrairement à son image fantôme qui tourne dans le sens horaire. Si elle s’écarte de la ligne médiane, elle arrive plutôt au point correspondant de l’autre côté. Une surface sur laquelle un chemin fermé transforme le sens horaire en sens antihoraire est dite non orientable. Pour une surface dans l’espace ordinaire, cela revient à n’avoir qu’une face. Mais l’orientabilité appartient à la surface seule : une créature qui ne peut quitter le papier peut la découvrir en marchant.

Avec Écart au milieu réglé sur 1, la flèche suit un bord. Sur un ruban de Möbius, un tour mène à ce qui semble être l’autre bord, et il faut deux tours pour revenir : il n’y a qu’un bord. Avec trois demi-torsions, ce bord unique forme un nœud de trèfle, le nœud le plus simple. Avec un nombre pair $k$, il y a deux bords, enlacés $k/2$ fois.

Coupe un ruban de Möbius le long du milieu : il ne se sépare pas en deux. De part et d’autre de la coupe, le papier est relié à la jointure, le côté du haut avec celui du bas. Il forme un long ruban qui fait deux tours, avec deux faces et deux bords. Ces deux bords sont enlacés deux fois. Si l’on dispose sa ligne médiane en cercle dans un plan, chaque enlacement correspond à une torsion complète : le long ruban en a donc deux.

Coupe un ruban de Möbius à un tiers de sa largeur en partant d’un bord : les ciseaux doivent faire deux tours pour revenir. Dans la petite vue, les deux lignes de part et d’autre de la ligne médiane se rejoignent à la jointure pour former une seule coupe. Il reste au milieu un ruban de Möbius plus fin, tandis que les deux marges se rejoignent en un long ruban ; les deux morceaux sont enlacés une fois. Avec un nombre pair de demi-torsions, chaque coupe se ferme après un tour et ajoute simplement un morceau.

Le nombre de demi-torsions joue donc deux rôles. Sa parité détermine la surface : en tant que surfaces, sans l’espace qui les entoure, tous les rubans impairs sont identiques, avec une seule face et un bord ; tous les rubans pairs sont eux aussi identiques entre eux. Le nombre exact détermine la façon dont la surface se place dans l’espace : comment ses bords s’enlacent ou se nouent. Aucun mouvement dans l’espace ne peut défaire ces liens sans faire passer le papier à travers lui-même.

August Ferdinand Möbius et Johann Benedict Listing ont découvert le ruban indépendamment en 1858.