莫比烏斯帶

畫面上是一條紙帶，扭轉0、1、2或3個半圈後黏成一個環。扭轉半圈的就是莫比烏斯帶。面板上方的小圖是同一張紙剪開攤平的樣子；塗色時，正面和背面分成上下兩排。在這裡，你可以替紙帶塗色、讓箭頭沿著它走、把它剪開，觀察哪些結果只取決於半扭轉次數的奇偶，哪些取決於次數本身。

紙帶有幾個面，取決於黏合的兩端如何對接。半扭轉次數為偶數時，正面接正面，背面接背面，每一面各自閉合。滾筒在自己的那一面走一圈，不越過邊就到不了另一面：共有兩個面。次數為奇數時，正面的右端上下翻轉，接到背面的左端，兩面連成一條兩倍長的帶子。滾一圈後，滾筒回到起點，卻在另一面；再滾一圈，正反面就都塗滿了。它從未越過邊，所以所謂的兩面其實是一個面。

滾筒是從紙外面看。箭頭印在紙裡，透過紙也看得見，就像住在紙裡的生物所看到的那樣。沿莫比烏斯帶的中線走一圈，箭頭回到起點，變成逆時針旋轉，與順時針旋轉的殘影相反；偏離中線走，它則會到達中線另一側的對應位置。若曲面上有某條閉合路徑能把順時針變成逆時針，這個曲面就稱為不可定向。對一般空間裡的曲面而言，這與單側性是一回事；但可定向性只屬於曲面本身：無法離開紙面的生物，也能藉由行走發現。

把離中線調到1，箭頭就會沿著邊走。在莫比烏斯帶上，走一圈會到達看似另一條邊的地方，走兩圈才回到起點：只有一條邊。三次半扭轉時，這唯一的邊會形成三葉結，最簡單的結。半扭轉次數為偶數$k$時，有兩條邊，彼此相套$k/2$次。

沿中線剪開莫比烏斯帶，它不會斷成兩條。剪口兩側的紙在接縫處上側接下側，連成一條繞兩圈的長帶，有兩個面、兩條邊。這兩條邊相套兩次。把長帶的中線擺成平面上的圓，每套一次就對應一整圈扭轉，因此長帶有兩整圈扭轉。

在莫比烏斯帶上，離邊三分之一帶寬處剪開，剪刀要走兩圈才回到起點：小圖中，中線兩側的兩條線在接縫處接成同一條剪線。剪完後，中間留下一條較窄的莫比烏斯帶，兩側邊條連成一條長帶；兩個部分相套一次。對半扭轉次數為偶數的紙帶，每一刀走一圈就閉合，只會多出一個部分。

因此，半扭轉次數決定兩件事。奇偶決定曲面本身：不看周圍空間，所有奇數半扭轉的紙帶都是同一種曲面，單側且只有一條邊；所有偶數的也彼此相同。確切次數則決定曲面如何置於空間中：邊如何互相套住、如何打結。只要不讓紙穿過自己，無論在空間中如何移動，都無法解開這些相套或打結的關係。

奧古斯特・費迪南德・莫比烏斯和約翰・本尼迪克特・利斯廷於1858年各自獨立發現了這條帶子。