Hyperbolische Geometrie

Das Bild ist eine Karte der hyperbolischen Ebene, die sich wie die flache Ebene in jede Richtung unendlich weit erstreckt. Die Karte ist die Poincaré-Scheibe: Die ganze Ebene passt ins Kreisinnere; der mit „unendlich“ markierte Kreisrand gehört nicht dazu. Alle Kacheln sind in der Ebene gleich groß. Nur die Darstellung lässt sie zum Rand hin kleiner erscheinen. Karte zeigt dieselbe Ebene auf zwei weitere Arten, mit denselben Längen, Winkeln und Flächeninhalten.

Geht der Läufer mit gleich langen Schritten nach außen, wirken seine Schritte im Bild immer kürzer. Ein kurzes Stück $|dz|$ des Bilds am Punkt $z$ steht für eine Länge

in der Ebene, die unbegrenzt wächst, wenn sich $z$ dem Rand nähert. Geht der Läufer von der Mitte aus die Strecke $d$ nach außen, legt er im Bild nur den Anteil $\tanh(d/2)$ des Wegs zum Rand zurück. Der Rand ist keine Wand, sondern die Stelle, an der dem Bild der Platz ausgeht.

Jeder Punkt lässt sich durch eine Bewegung, die Längen und Winkel erhält, auf jeden anderen bringen. Die Ebene hat überall dieselbe Krümmung −1. Folgen nutzt eine solche Bewegung, um den Läufer in die Mitte zu holen.

Geraden sind die kürzesten Wege zwischen Punkten. Die Scheibe stellt sie als Kreisbögen dar, die den Rand rechtwinklig treffen, oder als Durchmesser. Sie wölben sich zur Mitte hin, weil dort dieselbe Bildlänge für weniger Strecke in der Ebene steht. Bei Klein ist jede Gerade eine gerade Sehne, doch außerhalb der Mitte sind Winkel im Allgemeinen verzerrt. In der Halbebene sind Geraden Halbkreise auf dem unteren Rand oder senkrechte Halbgeraden. Winkel sind dort wie in der Scheibe richtig dargestellt. Keine flache Karte kann gleichzeitig Geraden gerade und Winkel unverzerrt darstellen, sonst würde das Bild der flachen Geometrie gehorchen.

Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen weniger als 180°. Der fehlende Betrag im Bogenmaß ist sein Flächeninhalt:

Nähern sich die drei Eckpunkte drei verschiedenen Punkten des Rands, gehen alle Winkel gegen 0 und der Flächeninhalt gegen π, den größtmöglichen Wert für ein Dreieck. Ein Dreieck lässt sich daher nicht unter Erhaltung seiner Winkel vergrößern. Dreiecke mit gleichen Winkeln sind kongruent; ähnlich geformte Dreiecke unterschiedlicher Größe gibt es nicht.

Bei Parallelen ist eine Gerade durch P rot, wenn sie ℓ trifft, und blau, wenn nicht. Liegt P außerhalb von ℓ, gibt es unendlich viele Geraden durch P, die ℓ nicht treffen. Die Grenzen bilden die beiden blauen Geraden durch die Enden von ℓ. Auch sie treffen ℓ nicht, denn die Enden liegen im Unendlichen. Jede bildet mit dem Lot von P den Parallelitätswinkel

wobei $d$ der Abstand von P zu ℓ ist. Nähert sich P der Geraden ℓ, geht Π gegen die 90° der flachen Ebene; weit entfernt geht Π gegen 0. Keine Gerade, die ℓ nicht trifft, hält einen konstanten Abstand zu ℓ. Die beiden Grenzgeraden nähern sich ℓ in einer Richtung immer weiter an. Jede andere Gerade, die ℓ nicht trifft, entfernt sich auf beiden Seiten einer gemeinsamen Senkrechten von ℓ.

Die rot gestrichelte Kurve bei Laufen ist der Kreis um den Startpunkt durch den Läufer. Ein Kreis mit Radius $r$ hat den Umfang

der exponentiell wächst, während er in der flachen Ebene $2\pi r$ beträgt. Den zusätzlichen Raum zeigen die Kacheln: Jeder Ring um die Mitte enthält viel mehr davon als der Ring innerhalb von ihm.

Die Pflasterung $\{p, q\}$ besteht aus regelmäßigen $p$-Ecken, von denen an jedem Eckpunkt $q$ zusammentreffen. Sie ist genau dann hyperbolisch, wenn $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolai Lobatschewski und János Bolyai veröffentlichten diese Geometrie um 1830 unabhängig voneinander.