Hiperbolik geometri

Görüntü, düz düzlem gibi her yönde sonsuza uzanan hiperbolik düzlemin bir haritasıdır. Bu, Poincaré diskidir: bütün düzlem çemberin içine sığar; sonsuz olarak işaretlenen çemberin kendisi düzleme dahil değildir. Düzlemde tüm döşemeler aynı boyuttadır; sınıra doğru küçük görünmelerinin tek nedeni haritadır. Harita, aynı düzlemi aynı uzunluk, açı ve alanlarla iki farklı şekilde daha çizer.

Yürüyen kişi dışarı doğru eşit adımlar attıkça, görüntüde adımları giderek kısalır. Görüntüde $z$ noktasındaki küçük bir $|dz|$ parçasının düzlemde temsil ettiği uzunluk

olur; $z$ sınıra yaklaştıkça bu uzunluk sınırsız büyür. Ortadan dışarı doğru $d$ kadar yürümek, kişiyi görüntüde sınıra giden yolun yalnızca $\tanh(d/2)$ kadarı boyunca ilerletir. Sınır bir duvar değil, görüntüde yerin tükendiği yerdir.

Her nokta, uzunlukları ve açıları koruyan bir hareketle başka herhangi bir noktaya taşınabilir; düzlemin eğriliği her yerde aynıdır: −1. Takip et, böyle bir hareketle yürüyen kişiyi ortaya geri getirir.

Doğrular, noktalar arasındaki en kısa yollardır. Disk bunları sınırla dik açı yapan yaylar veya çaplar olarak çizer. Ortaya doğru bükülürler, çünkü orada görüntüdeki bir uzunluk düzlemde daha kısa bir mesafeyi temsil eder. Klein haritasında her doğru düz bir kiriştir, fakat merkezden uzakta açılar genellikle bozulur. Yarı düzlem haritasında doğrular, alt sınır üzerinde duran yarım çemberler veya dikey ışınlardır; açılar diskteki gibi doğru çizilir. Hiçbir düz harita hem doğruları düz hem de açıları doğru çizemez; aksi halde görüntü düz düzlemin geometrisine uyardı.

Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°’den azdır ve radyan cinsinden eksik kalan miktar, alanıdır:

Üç köşe sınırın üç farklı noktasına yaklaştığında, üç açı da 0’a ve alan π’ye, bir üçgenin sahip olabileceği en büyük alana yaklaşır. Bu yüzden bir üçgen açıları korunarak büyütülemez. Açıları aynı olan iki üçgen eştir; farklı boyutlarda benzer üçgenler yoktur.

Paraleller bölümünde P’den geçen doğru, ℓ ile kesiştiğinde kırmızı, kesişmediğinde mavidir. P, ℓ üzerinde değilse P’den geçen sonsuz sayıda doğru ℓ ile kesişmez. Sınırları, ℓ’nin uçlarından geçen iki mavi doğru oluşturur; uçlar sonsuzda olduğu için bunlar da ℓ ile kesişmez. Her biri P’den inilen dik doğruyla şu paralellik açısını yapar:

Burada $d$, P’nin ℓ’ye uzaklığıdır. P, ℓ’ye yaklaştıkça Π düz düzlemdeki 90°’ye yaklaşır; uzakta ise 0’a yaklaşır. ℓ ile kesişmeyen doğruların hiçbiri ona sabit uzaklıkta kalmaz. İki sınır doğrusu bir uçta ℓ’ye yaklaşır; ℓ ile kesişmeyen diğer her doğru ise ortak bir dikmenin iki yanında ℓ’den uzaklaşır.

Yürü bölümündeki kırmızı kesikli eğri, merkezi başlangıçta olan ve yürüyen kişiden geçen çemberdir. Yarıçapı $r$ olan çemberin uzunluğu

olup üstel büyür; düz düzlemde ise $2\pi r$ olur. Fazladan alan döşemelerde görülür: merkez çevresindeki her halkada, içindeki halkadan çok daha fazla döşeme vardır.

$\{p, q\}$ döşemesinde, her köşede $q$ tane olmak üzere düzgün $p$ kenarlı çokgenler bulunur. Döşeme ancak ve ancak $1/p + 1/q < 1/2$ olduğunda hiperboliktir.

Nikolay Lobaçevski ve János Bolyai, bu geometriyi 1830 dolaylarında birbirlerinden bağımsız olarak yayımladı.