Geometria iperbolica

L’immagine è una mappa del piano iperbolico, che si estende all’infinito in ogni direzione, come il piano euclideo. La mappa è il disco di Poincaré: tutto il piano sta dentro la circonferenza; la circonferenza stessa, contrassegnata come infinito, non ne fa parte. Tutte le tessere hanno la stessa dimensione nel piano e sembrano più piccole verso il bordo solo per effetto della mappa. Mappa disegna lo stesso piano in altri due modi, con le stesse lunghezze, gli stessi angoli e le stesse aree.

Quando il camminatore avanza a passi uguali, nell’immagine i passi sembrano sempre più corti. Un piccolo tratto $|dz|$ dell’immagine nel punto $z$ rappresenta una lunghezza

nel piano, che cresce senza limite quando $z$ si avvicina al bordo. Percorrere una distanza $d$ dal centro porta il camminatore solo alla frazione $\tanh(d/2)$ del percorso verso il bordo nell’immagine. Il bordo non è un muro, ma il punto in cui l’immagine esaurisce lo spazio.

Qualsiasi punto può essere portato in qualsiasi altro con un movimento che conserva lunghezze e angoli; il piano ha ovunque la stessa curvatura, −1. Segui usa un movimento di questo tipo per riportare il camminatore al centro.

Le rette sono i percorsi più brevi fra punti. Il disco le disegna come archi che incontrano il bordo ad angolo retto o come diametri. Si incurvano verso il centro perché lì una lunghezza nell’immagine rappresenta meno distanza nel piano. In Klein, ogni retta è una corda rettilinea, ma lontano dal centro gli angoli sono generalmente deformati. In Semipiano, le rette sono semicirconferenze appoggiate sul bordo inferiore o semirette verticali e gli angoli sono fedeli, come nel disco. Nessuna mappa piana può disegnare insieme rette rettilinee e angoli fedeli: altrimenti l’immagine seguirebbe la geometria euclidea.

Gli angoli di un triangolo sommano meno di 180°, e ciò che manca, in radianti, è la sua area:

Quando i tre vertici si avvicinano a tre punti diversi del bordo, tutti e tre gli angoli tendono a 0 e l’area a π, il massimo possibile per un triangolo. Perciò non si può ingrandire un triangolo mantenendone gli angoli. Due triangoli con gli stessi angoli sono congruenti: non esistono triangoli simili di dimensioni diverse.

In Parallele, una retta passante per P è rossa quando incontra ℓ e blu altrimenti. Se P non è su ℓ, infinite rette passanti per P evitano ℓ. I confini sono le due rette blu passanti per le estremità di ℓ: anch’esse evitano ℓ, perché le estremità sono all’infinito. Ciascuna forma con la perpendicolare da P l’angolo di parallelismo

dove $d$ è la distanza da P a ℓ. Quando P si avvicina a ℓ, Π tende ai 90° del piano euclideo; lontano da ℓ, tende a 0. Nessuna delle rette che evitano ℓ resta a distanza costante da essa. Le due rette di confine si avvicinano a ℓ verso una delle estremità, mentre ogni altra retta che evita ℓ se ne allontana da entrambi i lati di una perpendicolare comune.

La curva rossa tratteggiata in Cammina è la circonferenza centrata alla partenza e passante per il camminatore. Una circonferenza di raggio $r$ ha lunghezza

che cresce esponenzialmente, mentre nel piano euclideo vale $2\pi r$. Lo spazio in più si vede nelle tessere: ogni anello intorno al centro ne contiene molte più dell’anello interno.

La tassellazione $\{p, q\}$ è formata da poligoni regolari con $p$ lati, $q$ per vertice. È iperbolica se e solo se $1/p + 1/q < 1/2$.

Nikolaj Lobačevskij e János Bolyai pubblicarono questa geometria indipendentemente intorno al 1830.