Superfície paramétrica

Uma superfície paramétrica é uma aplicação $r(u, v)$ que envia cada ponto $P = (u, v)$ de um retângulo plano de parâmetros para um ponto do espaço; a superfície é o conjunto de todos os pontos imagem. Fixe v e faça variar u: $r$ traça uma curva na superfície, uma linha u, tal como uma curva paramétrica. Fixe u e obtém uma linha v. Juntas formam a grelha gravada no vidro, imagem da grelha no retângulo inferior. Na esfera, u é a longitude e v é medido para cima a partir do polo sul, pelo que as linhas u são os paralelos.

Nestes cinco exemplos, pontos diferentes no interior do retângulo vão para pontos diferentes da superfície. Nas margens é diferente. No cilindro, na esfera e no toro, $r(0, v) = r(2\pi, v)$: as margens esquerda e direita chegam à mesma curva e o retângulo é colado formando um tubo. O toro cola também as margens superior e inferior. A faixa de Möbius cola as extremidades com a orientação invertida, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Na esfera, toda a margem inferior vai para o polo sul e toda a superior para o polo norte. As setas nos lados do retângulo mostram que margens são coladas e em que sentido.

As derivadas parciais $r_u$ e $r_v$ são as velocidades ao longo das linhas u e v que passam por P. Quando $r_u \times r_v \ne 0$, geram o plano tangente em $r(P)$, e $r_u \times r_v$ é um vetor normal a esse plano. Onde $r_u \times r_v = 0$, a parametrização é singular: nos polos da esfera, $r_u = 0$, porque uma margem inteira foi reduzida a um ponto. A própria esfera é perfeitamente suave nesses pontos e tem um plano tangente como em qualquer outro; só esta escolha de parâmetros deixa de funcionar.

Perto de P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Assim, uma pequena célula $\Delta u \times \Delta v$ torna-se uma região próxima do paralelogramo de lados $r_u\,\Delta u$ e $r_v\,\Delta v$, desenhado a tracejado ao lado. O comprimento de um produto vetorial é a área do paralelogramo gerado pelos seus vetores, pelo que a área dessa região é aproximadamente $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. O fator de área é $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, onde θ é o ângulo entre as linhas de parâmetros; só é igual a $|r_u|\,|r_v|$ quando se cruzam em ângulo reto. Reduza o tamanho da célula: o indicador «área da célula ÷ ΔuΔv» aproxima-se do fator de área à medida que a célula encolhe até um tamanho infinitesimal. Para uma parametrização como estas, que cobre a superfície uma única vez exceto nas margens, somar as células dá a área da superfície $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$, o ponto de partida dos integrais de superfície.