Permukaan parametrik

Permukaan parametrik adalah pemetaan $r(u, v)$ yang mengirim setiap titik $P = (u, v)$ pada persegi panjang parameter yang datar ke suatu titik di ruang; permukaan adalah himpunan semua titik bayangan. Pertahankan v dan biarkan u berubah: $r$ menelusuri kurva pada permukaan, yaitu garis-u, seperti kurva parametrik. Pertahankan u dan Anda memperoleh garis-v. Bersama-sama, keduanya membentuk kisi yang terukir pada kaca, bayangan dari kisi pada persegi panjang di bawahnya. Pada bola, u adalah bujur dan v diukur naik dari kutub selatan, sehingga garis-u merupakan lingkaran lintang.

Dalam kelima contoh ini, titik yang berbeda di bagian dalam persegi panjang menuju titik yang berbeda pada permukaan. Pada tepi, ceritanya berbeda. Pada silinder, bola, dan torus berlaku $r(0, v) = r(2\pi, v)$: tepi kiri dan kanan jatuh pada kurva yang sama, sehingga persegi panjang disambung menjadi tabung. Torus juga menyambung tepi atas dan bawahnya. Pita Möbius menyambung ujungnya dengan pembalikan, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Pada bola, seluruh tepi bawah menuju kutub selatan dan seluruh tepi atas menuju kutub utara. Panah pada sisi persegi panjang menunjukkan tepi mana yang disambung dan arahnya.

Turunan parsial $r_u$ dan $r_v$ adalah kecepatan sepanjang garis-u dan garis-v yang melalui P. Ketika $r_u \times r_v \ne 0$, keduanya merentang bidang singgung di $r(P)$, dan $r_u \times r_v$ adalah vektor normal bidang tersebut. Di tempat $r_u \times r_v = 0$, parametrisasinya singular: pada kutub bola berlaku $r_u = 0$ karena seluruh tepi diciutkan menjadi satu titik. Bola itu sendiri tetap mulus di sana dan memiliki bidang singgung seperti di titik lainnya; hanya pilihan parameter ini yang tidak berlaku dengan baik.

Di dekat P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Jadi sel kecil $\Delta u \times \Delta v$ menjadi potongan yang mendekati jajargenjang dengan sisi $r_u\,\Delta u$ dan $r_v\,\Delta v$, yang digambar putus-putus di sampingnya. Panjang hasil kali silang adalah luas jajargenjang yang direntang oleh kedua vektornya, sehingga luas potongan itu kira-kira $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Faktor luas adalah $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, dengan θ sebagai sudut antara garis parameter; nilainya sama dengan $|r_u|\,|r_v|$ hanya jika kedua garis berpotongan tegak lurus. Kecilkan ukuran sel: indikator “luas sel ÷ ΔuΔv” mendekati faktor luas ketika sel menjadi sangat kecil menuju nol. Untuk parametrisasi seperti ini, yang menutupi permukaan satu kali selain pada tepinya, menjumlahkan sel menghasilkan luas permukaan $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$, dasar dari integral permukaan.