سطح بارامتري

السطح البارامتري تطبيق $r(u, v)$ يرسل كل نقطة $P = (u, v)$ في مستطيل بارامترات مستوٍ إلى نقطة في الفضاء؛ والسطح هو مجموعة كل هذه الصور. ثبّت v ودع u يتغير: يرسم $r$ منحنى على السطح، يسمى خط u، كما في المنحنى البارامتري. وثبّت u فتحصل على خط v. معًا ينسجان الشبكة المنقوشة على الزجاج، وهي صورة شبكة المستطيل أسفله. على الكرة، u هو خط الطول، ويُقاس v صعودًا من القطب الجنوبي، لذا فإن خطوط u هي دوائر العرض.

في هذه الأمثلة الخمسة، تنتقل النقاط المختلفة داخل المستطيل إلى نقاط مختلفة على السطح. أما الحواف فلها شأن آخر. على الأسطوانة والكرة والسطح الحلقي، $r(0, v) = r(2\pi, v)$: تقع الحافتان اليسرى واليمنى على المنحنى نفسه، ويُوصل المستطيل ليصير أنبوبًا. ويصل السطح الحلقي أيضًا حافتيه العلوية والسفلية. أما شريط موبيوس فيصل طرفيه مع قلب الاتجاه، $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. وعلى الكرة تنتقل الحافة السفلية كلها إلى القطب الجنوبي، والعلوية كلها إلى القطب الشمالي. تبين الأسهم على جوانب المستطيل أي الجوانب تُوصل، وفي أي اتجاه.

المشتقتان الجزئيتان $r_u$ و$r_v$ هما متجها السرعة على خط u وخط v المارين بـP. عندما $r_u \times r_v \ne 0$، يولدان المستوى المماس عند $r(P)$، ويكون $r_u \times r_v$ متجهًا عموديًا عليه. وحيث $r_u \times r_v = 0$، يكون التمثيل البارامتري متفردًا: عند قطبي الكرة $r_u = 0$، لأن حافة كاملة اختُزلت إلى نقطة. الكرة نفسها ملساء تمامًا هناك، ولها مستوى مماس كما في سائر نقاطها؛ الخلل في اختيار البارامترات هذا وحده.

قرب P، $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. لذا تتحول خلية صغيرة $\Delta u \times \Delta v$ إلى رقعة تقارب متوازي الأضلاع ذي الضلعين $r_u\,\Delta u$ و$r_v\,\Delta v$، المرسوم بجانبها بخط متقطع. طول الضرب الاتجاهي يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولده متجهاه، لذلك تساوي مساحة الرقعة تقريبًا $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. معامل المساحة هو $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$، حيث θ هي الزاوية بين خطي البارامترات؛ ولا يساوي $|r_u|\,|r_v|$ إلا حيث يتقاطعان بزاوية قائمة. قلّل حجم الخلية، فتقترب قراءة «مساحة الخلية ÷ ⁦ΔuΔv⁩» من معامل المساحة كلما اقترب حجم الخلية من الصفر. ولتمثيل بارامتري كهذه التمثيلات، يغطي السطح مرة واحدة باستثناء حوافه، يعطي جمع الخلايا مساحة السطح $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$، وهي مدخل إلى التكاملات السطحية.