Parametrische Fläche

Eine parametrische Fläche ist eine Abbildung $r(u, v)$, die jeden Punkt $P = (u, v)$ eines ebenen Parameterrechtecks auf einen Punkt im Raum abbildet. Die Fläche ist die Menge aller Bildpunkte. Halte v fest und lasse u laufen: $r$ beschreibt eine Kurve auf der Fläche, eine u-Linie, genau wie eine parametrische Kurve. Hältst du u fest, entsteht eine v-Linie. Zusammen bilden sie das in das Glas eingravierte Gitter, das Bild des Gitters im Rechteck darunter. Auf der Kugel ist u der Längengrad, während v vom Südpol nach oben gemessen wird. Die u-Linien sind daher Breitenkreise.

In diesen fünf Beispielen werden verschiedene Punkte im Inneren des Rechtecks auf verschiedene Punkte der Fläche abgebildet. An den Rändern ist es anders. Auf Zylinder, Kugel und Torus gilt $r(0, v) = r(2\pi, v)$: Der linke und rechte Rand landen auf derselben Kurve, und das Rechteck wird zu einer Röhre verklebt. Beim Torus werden auch der obere und untere Rand verklebt. Beim Möbiusband werden die Enden mit umgekehrter Orientierung verklebt, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Auf der Kugel geht der gesamte untere Rand in den Südpol und der gesamte obere Rand in den Nordpol über. Die Pfeile an den Seiten zeigen, welche Ränder in welcher Richtung verklebt werden.

Die partiellen Ableitungen $r_u$ und $r_v$ sind die Geschwindigkeiten entlang der u-Linie und v-Linie durch P. Für $r_u \times r_v \ne 0$ spannen sie die Tangentialebene bei $r(P)$ auf, und $r_u \times r_v$ ist ein Normalenvektor dazu. Bei $r_u \times r_v = 0$ ist die Parametrisierung singulär: An den Kugelpolen gilt $r_u = 0$, weil ein ganzer Rand zu einem Punkt zusammengezogen wurde. Die Kugel selbst ist dort vollkommen glatt und besitzt wie überall eine Tangentialebene. Nur diese Wahl der Parameter versagt dort.

Nahe P gilt $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Eine kleine Zelle $\Delta u \times \Delta v$ wird deshalb zu einem Flächenstück, das näherungsweise dem daneben gestrichelt gezeichneten Parallelogramm mit den Seiten $r_u\,\Delta u$ und $r_v\,\Delta v$ entspricht. Die Länge eines Kreuzprodukts ist die Fläche des von seinen Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Das Flächenstück hat also ungefähr die Fläche $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. Der Flächenfaktor ist $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, wobei θ der Winkel zwischen den Parameterlinien ist. Er ist nur dann gleich $|r_u|\,|r_v|$, wenn sich die Linien rechtwinklig schneiden. Verkleinere die Zelle: Die Anzeige „Zellfläche ÷ ΔuΔv“ nähert sich dem Flächenfaktor, wenn die Zelle immer kleiner wird. Bei einer Parametrisierung wie diesen, die die Fläche abgesehen von ihren Rändern einmal überdeckt, ergibt das Aufsummieren der Zellen die Oberfläche $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$ – der Ausgangspunkt für Oberflächenintegrale.