參數曲面

參數曲面是一個映射$r(u, v)$，將平面參數長方形裡的每一點$P = (u, v)$送到空間的一點；所有像點的集合就是曲面。固定v、讓u變動，$r$便像參數曲線一樣，在曲面上描出一條u線。固定u則得到v線。兩者交織成玻璃上的格線，也是下方長方形格線的像。在球面上，u是經度，v則從南極向上量，因此u線是緯度圓。

在這五個例子中，長方形內部的不同點會到曲面上的不同點；邊界則不同。在圓柱、球面與環面上，$r(0, v) = r(2\pi, v)$：左右兩邊落到同一條曲線，因此長方形像被接成一根管子。環面還將上下兩邊接起來。莫比烏斯帶把兩端翻面後接合，也就是$r(2\pi, v) = r(0, -v)$。在球面上，下邊整條都到南極，上邊整條都到北極。長方形邊上的箭頭表示哪些邊接在一起，以及接合的方向。

偏導數$r_u$與$r_v$是沿P處u線、v線運動的速度。$r_u \times r_v \ne 0$時，它們張成$r(P)$處的切平面，而$r_u \times r_v$是該平面的法向量。在$r_u \times r_v = 0$的地方，參數化會退化：球面兩極處$r_u = 0$，因為一整條邊被縮成一個點。球面本身在這裡完全光滑，和其他地方一樣有切平面；失效的只是這一組參數的選擇。

在P附近，$r(u + \Delta u, v + \Delta v)$$\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$。所以小格$\Delta u \times \Delta v$會變成一小片接近平行四邊形的面，其兩邊為$r_u\,\Delta u$與$r_v\,\Delta v$，旁邊用虛線畫出。外積的長度就是兩個向量張成的平行四邊形面積，因此小片的面積約為$|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$。面積倍率是$|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$，其中θ為兩條參數線的夾角；只有兩線垂直相交時，它才等於$|r_u|\,|r_v|$。把小格調小，當它愈縮愈小時，「小塊面積 ÷ ΔuΔv」就愈接近面積倍率。對這些除了邊界之外只覆蓋曲面一次的參數化，將小格加起來便得到曲面積$\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$，這也是曲面積分的起點。