Parametrik yüzey

Parametrik yüzey, düz bir parametre dikdörtgenindeki her $P = (u, v)$ noktasını uzayda bir noktaya götüren $r(u, v)$ dönüşümüdür. Yüzey, tüm görüntü noktalarının kümesidir. v’yi sabit tutup u’yu değiştirin: $r$, parametrik bir eğri gibi yüzey üzerinde bir u-çizgisi çizer. u’yu sabit tutarsanız v-çizgisi elde edersiniz. Bu çizgiler birlikte cama işlenmiş ızgarayı, alttaki dikdörtgenin ızgarasının görüntüsünü oluşturur. Kürede u boylamdır; v ise güney kutbundan yukarı doğru ölçülür, dolayısıyla u-çizgileri enlem çemberleridir.

Bu beş örnekte, dikdörtgenin içindeki farklı noktalar yüzeyin farklı noktalarına gider. Kenarlarda durum farklıdır. Silindirde, kürede ve torusta $r(0, v) = r(2\pi, v)$ olur: sol ve sağ kenarlar aynı eğriye düşer ve dikdörtgen bir tüp oluşturacak şekilde birleştirilir. Torus üst ve alt kenarları da birleştirir. Möbius şeridi uçlarını ters çevirerek birleştirir, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. Kürede alt kenarın tamamı güney kutbuna, üst kenarın tamamı kuzey kutbuna gider. Dikdörtgenin yanlarındaki oklar hangi kenarların hangi yönde birleştirildiğini gösterir.

$r_u$ ve $r_v$ kısmi türevleri, P’den geçen u-çizgisi ve v-çizgisi boyunca hızlardır. $r_u \times r_v \ne 0$ olduğunda $r(P)$ noktasındaki teğet düzlemi gererler ve $r_u \times r_v$ bu düzleme normal bir vektördür. $r_u \times r_v = 0$ olan yerlerde parametrizasyon tekildir: kürenin kutuplarında $r_u = 0$ olur, çünkü bütün bir kenar tek noktaya büzülmüştür. Kürenin kendisi burada tamamen pürüzsüzdür ve başka her yerde olduğu gibi bir teğet düzleme sahiptir; yalnızca bu parametre seçimi burada çalışmaz.

P yakınında $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$ olur. Dolayısıyla küçük bir $\Delta u \times \Delta v$ hücresi, kenarları $r_u\,\Delta u$ ve $r_v\,\Delta v$ olan ve yanında kesikli çizilen paralelkenara yakın bir yüzey parçasına dönüşür. Vektörel çarpımın uzunluğu, vektörlerinin gerdiği paralelkenarın alanıdır; bu yüzden parçanın alanı yaklaşık $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$ olur. Alan çarpanı $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$’dir; burada θ parametre çizgileri arasındaki açıdır. Bu çarpan yalnızca çizgiler dik kesiştiğinde $|r_u|\,|r_v|$ değerine eşittir. Hücre boyutunu küçültün: hücre sonsuz küçülürken “hücre alanı ÷ ΔuΔv” göstergesi alan çarpanına yaklaşır. Yüzeyi kenarlar dışında bir kez örten bu tür parametrizasyonlarda hücreleri toplamak $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$ yüzey alanını verir; bu, yüzey integrallerinin başlangıcıdır.