Superficie paramétrica

Una superficie paramétrica es una aplicación $r(u, v)$ que lleva cada punto $P = (u, v)$ de un rectángulo plano de parámetros a un punto del espacio; la superficie es el conjunto de todas las imágenes. Fija v y deja variar u: $r$ traza una curva sobre la superficie, una línea u, como una curva paramétrica. Fija u y obtendrás una línea v. Juntas forman la cuadrícula grabada en el vidrio, imagen de la del rectángulo inferior. En la esfera, u es la longitud y v se mide hacia arriba desde el polo sur, por lo que las líneas u son los paralelos.

En estos cinco ejemplos, puntos distintos del interior del rectángulo van a puntos distintos de la superficie. En los bordes es diferente. En el cilindro, la esfera y el toro, $r(0, v) = r(2\pi, v)$: los bordes izquierdo y derecho llegan a la misma curva y el rectángulo se une formando un tubo. El toro también une sus bordes superior e inferior. La banda de Möbius une sus extremos invirtiendo la orientación, $r(2\pi, v) = r(0, -v)$. En la esfera, todo el borde inferior va al polo sur y todo el superior al polo norte. Las flechas de los lados indican qué bordes se unen y en qué sentido.

Las derivadas parciales $r_u$ y $r_v$ son las velocidades a lo largo de las líneas u y v que pasan por P. Cuando $r_u \times r_v \ne 0$, generan el plano tangente en $r(P)$, y $r_u \times r_v$ es un vector normal a él. Donde $r_u \times r_v = 0$, la parametrización es singular: en los polos de la esfera, $r_u = 0$, porque todo un borde se ha reducido a un punto. La esfera es perfectamente suave allí y tiene un plano tangente como en cualquier otro lugar; solo falla esta elección de parámetros.

Cerca de P, $r(u + \Delta u, v + \Delta v)$ $\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$. Así, una celda pequeña $\Delta u \times \Delta v$ se convierte en un parche cercano al paralelogramo de lados $r_u\,\Delta u$ y $r_v\,\Delta v$, dibujado a trazos junto a él. La longitud de un producto vectorial es el área del paralelogramo generado por sus vectores, así que el área del parche es aproximadamente $|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$. El factor de área es $|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$, donde θ es el ángulo entre las líneas de parámetros; solo es igual a $|r_u|\,|r_v|$ cuando se cruzan perpendicularmente. Reduce el tamaño de la celda: el indicador «área de la celda ÷ ΔuΔv» se aproxima al factor de área a medida que la celda se hace infinitamente pequeña. Para una parametrización como estas, que cubre la superficie una sola vez salvo en los bordes, sumar las celdas da el área superficial $\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$, el punto de partida de las integrales de superficie.