パラメトリック曲面

パラメトリック曲面は、平らなパラメータ長方形の各点$P = (u, v)$を空間の1点に移す写像$r(u, v)$です。曲面は、すべての点の像を集めたものです。vを固定してuを動かすと、$r$はパラメータ曲線のように曲面上のu線を描きます。uを固定すればv線です。この2種類の線が、下の長方形の格子の像として、ガラスに刻まれた格子を織りなします。球面ではuが経度、vは南極から上向きに測る角度なので、u線は緯線の円です。

この5つの例では、長方形内部の異なる点は曲面上の異なる点へ移ります。辺では事情が違います。円柱、球面、トーラスでは$r(0, v) = r(2\pi, v)$です。左右の辺が同じ曲線に移り、長方形が筒状に貼り合わされます。トーラスでは上下の辺も貼り合わされます。メビウスの帯は端を裏返して貼り合わせるので$r(2\pi, v) = r(0, -v)$です。球面では下の辺全体が南極へ、上の辺全体が北極へ移ります。長方形の辺の矢印は、どの辺をどの向きに貼り合わせるかを示します。

偏微分$r_u$と$r_v$は、Pを通るu線とv線に沿った速度です。$r_u \times r_v \ne 0$なら、この2つは$r(P)$での接平面を張り、$r_u \times r_v$はその法線ベクトルになります。$r_u \times r_v = 0$となる場所ではパラメータ表示が特異です。球面の極では辺全体が1点に縮むため$r_u = 0$となります。球面そのものはそこで完全に滑らかで、ほかの点と同じように接平面を持ちます。このパラメータの選び方だけが、そこでうまく働かないのです。

Pの近くでは$r(u + \Delta u, v + \Delta v)$$\approx r(u, v) + r_u\,\Delta u + r_v\,\Delta v$です。そのため小区画$\Delta u \times \Delta v$は、辺が$r_u\,\Delta u$と$r_v\,\Delta v$である平行四辺形に近い面へ移ります。その平行四辺形は隣に破線で描かれています。外積の長さは2つのベクトルが張る平行四辺形の面積なので、小さな面の面積はおよそ$|r_u \times r_v|\,\Delta u\,\Delta v$です。面積倍率は$|r_u \times r_v| = |r_u|\,|r_v| \sin\theta$で、θはパラメータ線の間の角度です。$|r_u|\,|r_v|$と等しくなるのは、2つの線が直角に交わる場合だけです。区画を小さくすると、表示欄の「小区画の面積 ÷ ΔuΔv」は、区画が限りなく小さくなるにつれて面積倍率に近づきます。これらのように辺を除いて曲面を1回覆うパラメータ表示では、区画を足し合わせると曲面積$\iint_D |r_u \times r_v|\,du\,dv$が得られます。これが面積分の出発点です。