相关变化率

两个随时间变化的量如果由一个等式联系在一起，它们的变化率也就联系在一起。本页用梯子、注水的水箱、路灯下的影子和涟漪，各让一个量匀速变化，看另一个量怎样跟着变。若y通过$y = f(x)$依赖于x，而x随时间变化，链式法则给出

右边的图画的是关系本身：横轴是驱动量，纵轴是跟着变的量，当前状态是曲线上的一点。速率三角形从这一点出发：红边和黄边是两个速率各乘同样的时间（水箱是1分钟，其余是1秒）。黄边的变化量除以红边的变化量，连同正负号，就是斜率，所以第三条边落在切线上。拧速率旋钮，三角形按比例缩放。沿弯曲的关系线移动，斜率会变，同样的驱动速率就给出不同的跟随速率；影子的关系是直线，斜率不变。

先求导，再代入。在梯子里，x = 3这一瞬间顶端在y = 4。如果先代入，$x^2 + y^2 = 25$就成了$9 + 16 = 25$，这是常数之间的等式，求导什么也得不到。对一般的等式求导，得到$2x\,x' + 2y\,y' = 0$，再代入x = 3、y = 4和$x' = 1$ m/s，才得到$y' = -3/4$ m/s。

四个情境里，各有一个被驱动的量和一个跟着变的量：

• 梯子（5 m）：$x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$。底端离墙越远，顶端下滑越快。
• 圆锥水箱（尖朝下）：$V' = A\,h'$，A是水面的面积。进水速度不变时，水面小，水位升得快；水面大，升得慢。
• 路灯与影子：由相似三角形，影子尖端在$T = 1.5x$，所以$T' = 1.5\,x'$。关系是一条直线，速率始终不变。
• 涟漪：$A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$。半径匀速增大时，周长越长，面积增长得越快。

变化率不是一个时间单位内的变化量。三角形的尖角，是两个速率都保持现在的值时，过了这段时间状态会到的地方；同一条竖线上的空心点，才是真正到的地方。两者之差就是切线近似的误差：梯子从x = 3起、底端以$x' = 1$ m/s移动时，接下来1秒顶端实际降了1 m，而不是切线预测的0.75 m。只有在影子这条直线上，两个点才重合。

“新增的一层”把接下来十分之一个时间单位增加的量，在水箱里和“水面面积 × 厚度”比较，在涟漪里和“周长 × 宽度”比较。层越薄，两者越接近，$V' = A\,h'$和$A' = 2\pi r\,r'$就是这样来的。

梯子是理想化的。y趋于0时，顶端会下滑得越来越快，没有上限，因为题设规定底端始终匀速移动。本页停在x = 4.8。