Laju terkait

Ketika dua besaran yang berubah terhadap waktu dihubungkan oleh persamaan, lajunya pun saling terhubung. Pada contoh tangga, tangki yang diisi, bayangan lampu, dan riak, satu besaran diubah dengan laju tetap untuk menunjukkan bagaimana besaran lain mengikutinya. Jika y bergantung pada x melalui $y = f(x)$ dan x berubah terhadap waktu, aturan rantai memberikan

Grafik di kanan menggambarkan hubungan itu sendiri, besaran pengikut terhadap besaran penggerak; keadaan saat ini adalah titik pada kurva. Segitiga laju berawal dari titik tersebut. Sisi merah dan kuning adalah kedua laju dikalikan waktu yang sama: satu menit pada tangki dan satu detik pada contoh lain. Perubahan kuning dibagi perubahan merah, termasuk tandanya, adalah kemiringan, sehingga sisi ketiga terletak sepanjang garis singgung. Memutar kenop laju mengubah skala segitiga. Bergerak sepanjang hubungan melengkung mengubah kemiringan, sehingga laju penggerak yang sama memberi laju pengikut yang berbeda; garis lurus pada bayangan mempertahankan kemiringannya.

Diferensialkan dahulu, lalu substitusikan. Pada tangga, saat x = 3 ujung atas berada pada y = 4. Substitusi lebih dahulu mengubah $x^2 + y^2 = 25$ menjadi $9 + 16 = 25$, persamaan antarkonstanta yang turunannya tidak memberi informasi. Mendiferensialkan persamaan umum memberi $2x\,x' + 2y\,y' = 0$; baru kemudian x = 3, y = 4, dan $x' = 1$ m/s memberikan $y' = -3/4$ m/s.

Keempat situasi masing-masing menghubungkan besaran penggerak dengan besaran pengikut:

• Tangga (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Makin jauh kaki dari dinding, makin cepat ujung atas turun.
• Tangki kerucut (puncak di bawah): $V' = A\,h'$, dengan A sebagai luas permukaan air. Debit masuk tetap menaikkan air dengan cepat ketika permukaannya kecil, dan lambat ketika besar.
• Lampu dan bayangan: kesebangunan segitiga menempatkan ujung bayangan pada $T = 1.5x$, sehingga $T' = 1.5\,x'$. Hubungannya berupa garis lurus dan lajunya tidak berubah.
• Riak: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. Pada laju radial tetap, keliling lebih panjang berarti pertumbuhan luas lebih cepat.

Laju bukanlah perubahan selama satu satuan waktu. Ujung segitiga menunjukkan keadaan setelah waktu tersebut jika kedua laju tetap seperti sekarang. Titik kosong pada garis vertikal yang sama menunjukkan keadaan sebenarnya. Jarak di antaranya adalah galat pendekatan garis singgung: untuk tangga dari x = 3 dengan $x' = 1$ m/s, ujung atas benar-benar turun 1 m pada detik berikutnya, bukan perkiraan 0.75 m. Kedua titik hanya berimpit pada garis lurus hubungan bayangan.

Lapisan baru membandingkan tambahan selama sepersepuluh satuan waktu berikutnya dengan luas permukaan × ketebalan pada tangki, dan keliling × lebar pada riak. Jika lapisannya cukup tipis, kedua nilai hampir sama; dari sinilah $V' = A\,h'$ dan $A' = 2\pi r\,r'$ berasal.

Tangga ini adalah model ideal. Ujung atasnya akan turun makin cepat tanpa batas saat y mendekati 0, karena soal memaksa kaki tetap bergerak dengan laju tetap apa pun yang terjadi. Halaman berhenti pada x = 4.8.