Связанные скорости изменения

Если две меняющиеся со временем величины связаны уравнением, связаны и скорости их изменения. Здесь в примерах с лестницей, наполняемым резервуаром, тенью от фонаря и рябью одна величина меняется с постоянной скоростью, а другая следует за ней. Если y зависит от x по закону $y = f(x)$, а x меняется со временем, правило дифференцирования сложной функции даёт

Справа изображена сама зависимость: зависимая величина по вертикали, ведущая по горизонтали; текущее состояние — точка на этой кривой. Треугольник скоростей начинается в ней. Его красная и жёлтая стороны — две скорости, умноженные на одно время: минуту для резервуара и секунду для остальных примеров. Отношение жёлтого изменения к красному с учётом знаков равно наклону, поэтому третья сторона лежит на касательной. Регулятор скорости масштабирует треугольник. При движении по нелинейной зависимости наклон меняется, и та же ведущая скорость даёт другую зависимую; у прямой в примере с тенью наклон постоянен.

Сначала дифференцируйте, затем подставляйте. В примере с лестницей в момент x = 3 верх находится на y = 4. Подстановка заранее превращает $x^2 + y^2 = 25$ в $9 + 16 = 25$ — равенство констант, производная которого ничего не сообщает. Дифференцирование общего уравнения даёт $2x\,x' + 2y\,y' = 0$, и лишь затем x = 3, y = 4 и $x' = 1$ m/s дают $y' = -3/4$ m/s.

В каждом из четырёх примеров ведущая величина связана с зависимой:

• Лестница (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Чем дальше основание от стены, тем быстрее опускается верх.
• Конический резервуар (вершиной вниз): $V' = A\,h'$, где A — площадь поверхности воды. При постоянном притоке уровень быстро поднимается, когда поверхность мала, и медленно, когда она велика.
• Фонарь и тень: из подобия треугольников положение конца тени $T = 1.5x$, поэтому $T' = 1.5\,x'$. Зависимость линейна, и скорости не меняются.
• Рябь: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. При постоянной скорости роста радиуса бо́льшая длина окружности означает более быстрый рост площади.

Скорость — не изменение за единицу времени. Вершина треугольника показывает, каким стало бы состояние через это время, если бы обе скорости оставались текущими. Полая точка на той же вертикали показывает, каким оно будет на самом деле. Разрыв между ними — ошибка приближения касательной: для лестницы из положения x = 3 при $x' = 1$ m/s верх за следующую секунду опускается на 1 m, а не на предсказанные 0.75 m. Только на прямой в примере с тенью точки совпадают.

Режим Новый слой сравнивает прибавку за следующую десятую единицы времени с площадью поверхности × толщиной в резервуаре и с длиной окружности × шириной в примере с рябью. Для достаточно тонкого слоя значения почти совпадают; отсюда $V' = A\,h'$ и $A' = 2\pi r\,r'$.

Лестница — идеализированная модель. При приближении y к 0 её верх опускался бы всё быстрее без ограничения, потому что по условию основание продолжает двигаться с постоянной скоростью при любых обстоятельствах. Страница останавливается при x = 4.8.