Taxas relacionadas

Quando duas grandezas que variam com o tempo estão ligadas por uma equação, as suas taxas também estão ligadas. Aqui, uma escada, um depósito a encher, a sombra de um candeeiro e uma onda fazem variar uma grandeza a taxa constante e mostram como a outra responde. Se y depende de x através de $y = f(x)$ e x varia com o tempo, a regra da cadeia dá

O gráfico da direita representa a própria relação, a grandeza dependente em função da que se faz variar; o estado atual é um ponto dessa curva. O triângulo das taxas parte desse ponto. Os lados vermelho e amarelo são as duas taxas multiplicadas pelo mesmo tempo: um minuto no depósito e um segundo nos outros casos. A variação amarela dividida pela vermelha, incluindo os sinais, é o declive, pelo que o terceiro lado segue a tangente. Rodar o botão da taxa altera a escala do triângulo. Mover-se numa relação curva muda o declive, pelo que a mesma taxa imposta dá uma taxa diferente para a grandeza dependente; a reta da sombra mantém o declive.

Primeiro deriva, depois substitui. Na escada, no instante x = 3, o topo está em y = 4. Substituir primeiro transforma $x^2 + y^2 = 25$ em $9 + 16 = 25$, uma igualdade entre constantes cuja derivada nada diz sobre o movimento. Derivar a equação geral dá $2x\,x' + 2y\,y' = 0$; só depois x = 3, y = 4 e $x' = 1$ m/s dão $y' = -3/4$ m/s.

As quatro situações ligam uma grandeza cuja variação se impõe a outra que dela depende:

• Escada (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Quanto mais o pé se afasta, mais depressa desce o topo.
• Depósito cónico (ponta para baixo): $V' = A\,h'$, onde A é a área da superfície da água. Um caudal constante faz subir o nível depressa quando a superfície é pequena e devagar quando é grande.
• Candeeiro e sombra: os triângulos semelhantes colocam a ponta da sombra em $T = 1.5x$, pelo que $T' = 1.5\,x'$. A relação é uma reta e as taxas nunca mudam.
• Onda circular: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. A velocidade radial constante, uma circunferência mais longa significa um crescimento mais rápido da área.

Uma taxa não é uma variação durante uma unidade de tempo. O vértice do triângulo indica onde estaria o estado após esse tempo se as duas taxas mantivessem os valores atuais. O ponto vazio na mesma vertical indica o estado real. A distância entre eles é o erro da aproximação pela reta tangente: na escada, a partir de x = 3 com $x' = 1$ m/s, o topo desce realmente 1 m no segundo seguinte, não os 0,75 m previstos. Os dois pontos só coincidem na reta da sombra.

A opção Nova camada compara o que se acrescenta no décimo de unidade de tempo seguinte com área da superfície × espessura no depósito, e com comprimento da circunferência × largura na onda. Para uma camada suficientemente fina, os valores quase coincidem; é daí que vêm $V' = A\,h'$ e $A' = 2\pi r\,r'$.

A escada é uma idealização. O topo desceria cada vez mais depressa, sem limite quando y se aproxima de 0, porque o problema mantém o pé a velocidade constante aconteça o que acontecer. A página para em x = 4.8.