연관 변화율

시간에 따라 변하는 두 양이 방정식으로 연결되어 있으면 변화율도 연결됩니다. 여기서는 사다리, 물을 채우는 탱크, 가로등의 그림자, 물결에서 한 양을 일정한 변화율로 움직이며 다른 양이 어떻게 따라 변하는지 보여 줍니다. $y = f(x)$에 따라 y가 x에 의존하고 x가 시간에 따라 변하면, 연쇄법칙으로 다음을 얻습니다.

오른쪽 그래프는 두 양의 관계 자체를, 즉 입력량에 대해 따라 변하는 양을 그립니다. 현재 상태는 곡선 위의 한 점입니다. 변화율 삼각형은 그 점에서 시작합니다. 빨간 변과 노란 변은 두 변화율에 같은 시간을 곱한 것입니다. 탱크에서는 1분, 나머지에서는 1초입니다. 부호를 포함해 노란 변화량을 빨간 변화량으로 나누면 기울기가 되므로, 세 번째 변은 접선을 따릅니다. 변화율 노브를 돌리면 삼각형의 크기가 바뀝니다. 관계가 곡선이면 이동하면서 기울기가 달라지므로 같은 입력 변화율에서도 따라 변하는 양의 변화율은 달라집니다. 그림자의 직선 관계는 기울기가 일정합니다.

먼저 미분하고, 그다음 대입하세요. 사다리에서 x = 3인 순간 위쪽 끝은 y = 4에 있습니다. 먼저 대입하면 식은 $x^2 + y^2 = 25$에서 $9 + 16 = 25$로 바뀝니다. 상수끼리의 방정식을 미분해도 변화율에 대한 정보는 나오지 않습니다. 일반 방정식을 미분하면 $2x\,x' + 2y\,y' = 0$이고, 그다음 x = 3, y = 4, $x' = 1$ m/s를 대입해야 $y' = -3/4$ m/s를 얻습니다.

네 상황은 각각 직접 움직이는 양과 따라 변하는 양을 연결합니다.

• 사다리(5m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. 발이 바깥으로 멀리 나갈수록 위쪽 끝은 더 빨리 내려갑니다.
• 원뿔 물탱크(꼭짓점이 아래): $V' = A\,h'$. A는 수면의 넓이입니다. 일정한 유량으로 물이 들어오면 수면이 작을 때는 수위가 빨리, 클 때는 천천히 올라갑니다.
• 가로등과 그림자: 닮은 삼각형으로부터 그림자 끝의 위치는 $T = 1.5x$이고, 따라서 $T' = 1.5\,x'$입니다. 관계가 직선이므로 변화율은 변하지 않습니다.
• 물결: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. 반지름이 일정한 속력으로 커질 때 둘레가 길수록 면적이 더 빨리 늘어납니다.

변화율은 한 단위 시간 동안의 변화량 자체가 아닙니다. 삼각형 끝점은 두 변화율이 지금 그대로 유지된다고 가정할 때 그 시간이 지난 뒤의 상태입니다. 같은 수직선 위의 속 빈 점이 실제 상태입니다. 두 점의 차이는 접선 근사의 오차입니다. 사다리가 x = 3, $x' = 1$ m/s에서 출발하면 다음 1초 동안 위쪽 끝은 예측한 0.75m가 아니라 실제로 1m 내려갑니다. 두 점이 일치하는 것은 그림자의 직선 관계뿐입니다.

새로 더해진 층은 다음 0.1단위 시간 동안 실제로 늘어나는 양을 탱크에서는 수면적 × 두께와, 물결에서는 둘레 × 너비와 비교합니다. 층이 충분히 얇으면 두 값이 거의 일치하며, 이것이 $V' = A\,h'$ 및 $A' = 2\pi r\,r'$의 바탕입니다.

사다리는 이상화한 모형입니다. 무슨 일이 있어도 발이 일정한 속력으로 움직이도록 가정했으므로 y가 0에 가까워지면 위쪽 끝이 내려가는 속력은 한없이 커집니다. 이 페이지는 x = 4.8에서 멈춥니다.