Tassi di variazione correlati

Quando due grandezze che cambiano nel tempo sono legate da un’equazione, anche i loro tassi di variazione sono legati. Qui una scala, un serbatoio che si riempie, l’ombra di un lampione e un’onda fanno variare una grandezza a tasso costante e mostrano come l’altra risponde. Se y dipende da x tramite $y = f(x)$ e x cambia nel tempo, la regola della catena dà

Il grafico a destra disegna la relazione stessa, la grandezza dipendente in funzione di quella che si fa variare; lo stato attuale è un punto della curva. Il triangolo dei tassi parte da quel punto. I lati rosso e giallo sono i due tassi moltiplicati per lo stesso tempo: un minuto nel serbatoio e un secondo negli altri casi. La variazione gialla divisa per quella rossa, segni compresi, è la pendenza, quindi il terzo lato segue la tangente. Ruotare la manopola del tasso cambia la scala del triangolo. Spostarsi lungo una relazione curva modifica la pendenza: lo stesso tasso imposto produce allora un diverso tasso per la grandezza dipendente. La retta dell’ombra mantiene la propria pendenza.

Prima deriva, poi sostituisci. Per la scala, nell’istante in cui x = 3 la cima si trova a y = 4. Sostituire prima trasforma $x^2 + y^2 = 25$ in $9 + 16 = 25$, un’uguaglianza tra costanti la cui derivata non dice nulla sul moto. Derivare l’equazione generale dà $2x\,x' + 2y\,y' = 0$; solo dopo, x = 3, y = 4 e $x' = 1$ m/s danno $y' = -3/4$ m/s.

Le quattro situazioni legano ciascuna una grandezza che si fa variare a una che ne dipende:

• Scala (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Più il piede si allontana, più velocemente scende la cima.
• Serbatoio conico (punta in basso): $V' = A\,h'$, dove A è l’area della superficie dell’acqua. Una portata costante fa salire rapidamente il livello quando la superficie è piccola e lentamente quando è grande.
• Lampione e ombra: i triangoli simili collocano la punta dell’ombra in $T = 1.5x$, quindi $T' = 1.5\,x'$. La relazione è una retta e i tassi non cambiano.
• Onda circolare: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. A velocità radiale costante, una circonferenza più lunga implica una crescita più rapida dell’area.

Un tasso non è una variazione in un’unità di tempo. Il vertice del triangolo indica lo stato che si avrebbe dopo quel tempo se entrambi i tassi rimanessero quelli attuali. Il punto vuoto sulla stessa verticale indica lo stato reale. La distanza tra i due è l’errore dell’approssimazione con la retta tangente: per la scala che parte da x = 3 con $x' = 1$ m/s, la cima scende realmente di 1 m nel secondo successivo, non degli 0,75 m previsti. I due punti coincidono solo sulla retta dell’ombra.

L’opzione Nuovo strato confronta ciò che si aggiunge nel successivo decimo di unità di tempo con area della superficie × spessore nel serbatoio e con circonferenza × larghezza nell’onda. Per uno strato abbastanza sottile, i valori sono quasi uguali: da qui derivano $V' = A\,h'$ e $A' = 2\pi r\,r'$.

La scala è un modello ideale. La cima scenderebbe sempre più velocemente, senza limite al tendere di y a 0, perché il problema mantiene il piede a velocità costante qualunque cosa accada. La pagina si ferma a x = 4.8.