Zusammenhängende Änderungsraten

Sind zwei zeitlich veränderliche Größen durch eine Gleichung verbunden, so sind auch ihre Änderungsraten miteinander verknüpft. Hier verändern eine Leiter, ein sich füllender Tank, ein Lampenschatten und ein Wellenring jeweils eine Größe mit konstanter Rate und zeigen, wie sich die andere mitverändert. Hängt y über $y = f(x)$ von x ab und ändert sich x mit der Zeit, liefert die Kettenregel

Der rechte Graph zeigt den Zusammenhang selbst: die abhängige Größe in Abhängigkeit von der Ausgangsgröße. Der aktuelle Zustand ist ein Punkt auf dieser Kurve. Das Ratendreieck beginnt an diesem Punkt. Seine rote und gelbe Seite entsprechen den beiden Raten mal derselben Zeitspanne: beim Tank eine Minute, sonst eine Sekunde. Die gelbe Änderung geteilt durch die rote ergibt einschließlich der Vorzeichen die Steigung. Die dritte Seite liegt daher auf der Tangente. Drehen am Ratenregler vergrößert oder verkleinert das Dreieck. Entlang eines gekrümmten Zusammenhangs ändert sich die Steigung. Dieselbe Rate der Ausgangsgröße ergibt somit unterschiedliche Raten der abhängigen Größe; beim geraden Zusammenhang des Schattens bleibt die Steigung gleich.

Erst ableiten, dann einsetzen. Bei der Leiter liegt das obere Ende im Augenblick x = 3 bei y = 4. Setzt man zuerst ein, wird $x^2 + y^2 = 25$ zu $9 + 16 = 25$: eine Gleichung zwischen Konstanten, deren Ableitung keine Information liefert. Ableiten der allgemeinen Gleichung ergibt $2x\,x' + 2y\,y' = 0$. Erst dann liefern x = 3, y = 4 und $x' = 1$ m/s das Ergebnis $y' = -3/4$ m/s.

Die vier Situationen verbinden jeweils eine gezielt veränderte Größe mit einer, die ihr folgt:

• Leiter (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Je weiter der Fuß nach außen rückt, desto schneller fällt das obere Ende.
• Kegeltank (Spitze nach unten): $V' = A\,h'$, wobei A die Fläche der Wasseroberfläche ist. Bei konstantem Zufluss steigt der Pegel schnell, wenn die Wasserfläche klein ist, und langsam, wenn sie groß ist.
• Laterne und Schatten: Aus ähnlichen Dreiecken folgt die Position der Schattenspitze $T = 1.5x$, also $T' = 1.5\,x'$. Der Zusammenhang ist eine Gerade, und die Raten bleiben konstant.
• Wellenring: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. Bei konstanter radialer Geschwindigkeit bedeutet ein längerer Umfang ein schnelleres Flächenwachstum.

Eine Rate ist nicht die Änderung über eine Zeiteinheit. Die Spitze des Dreiecks liegt dort, wo der Zustand nach dieser Zeit wäre, wenn beide Raten ihren aktuellen Wert behielten. Der hohle Punkt auf derselben Senkrechten zeigt den tatsächlichen Zustand. Der Abstand dazwischen ist der Fehler der Tangentenapproximation: Beginnt die Leiter bei x = 3 mit $x' = 1$ m/s, fällt ihr oberes Ende in der nächsten Sekunde tatsächlich um 1 m, nicht um die vorhergesagten 0,75 m. Nur beim geraden Zusammenhang des Schattens fallen die beiden Punkte zusammen.

Die Option Neue Schicht vergleicht den tatsächlichen Zuwachs im nächsten Zehntel einer Zeiteinheit beim Tank mit Wasserfläche × Dicke und beim Wellenring mit Umfang × Breite. Ist die Schicht dünn genug, stimmen beide fast überein. Daraus entstehen $V' = A\,h'$ und $A' = 2\pi r\,r'$.

Die Leiter ist ein idealisiertes Modell. Ihr oberes Ende würde immer schneller fallen, ohne Grenze, wenn y gegen 0 geht. Denn die Aufgabe setzt voraus, dass sich der Fuß unter allen Umständen gleichmäßig weiterbewegt. Die Seite stoppt bei x = 4,8.