İlişkili değişim hızları

Zamanla değişen iki büyüklük bir denklemle bağlıysa, değişim hızları da bağlıdır. Burada merdiven, dolan depo, lambanın gölgesi ve su halkası örneklerinin her birinde bir büyüklük sabit hızla değiştirilir; diğerinin nasıl karşılık verdiği gösterilir. y, x’e $y = f(x)$ ile bağlıysa ve x zamanla değişiyorsa zincir kuralı şunu verir:

Sağdaki grafik ilişkinin kendisini gösterir: hızı belirlenen büyüklüğe göre bağlı büyüklük; mevcut durum bu eğri üzerinde bir noktadır. Hız üçgeni bu noktadan başlar. Kırmızı ve sarı kenarları, iki hızın aynı süreyle çarpımıdır: depoda bir dakika, diğerlerinde bir saniye. İşaretleriyle birlikte sarı değişimin kırmızı değişime oranı eğimdir; bu yüzden üçüncü kenar teğet boyunca uzanır. Hız düğmesini çevirmek üçgeni ölçekler. Eğrisel bir ilişki üzerinde ilerlemek eğimi değiştirir; hızı belirlenen büyüklüğün aynı değişim hızı farklı bir bağlı hız verir. Gölgenin doğrusal ilişkisi ise eğimini korur.

Önce türev alın, sonra değerleri yerleştirin. Merdivende x = 3 olduğu anda üst uç y = 4’tedir. Önce yerine koymak $x^2 + y^2 = 25$ denklemini $9 + 16 = 25$ yapar; bu sabitler arasındaki eşitliğin türevi bilgi vermez. Genel denklemin türevi $2x\,x' + 2y\,y' = 0$ olur; ancak bundan sonra x = 3, y = 4 ve $x' = 1$ m/s değerleri $y' = -3/4$ m/s sonucunu verir.

Dört durumun her biri, hızı belirlenen bir büyüklüğü ona bağlı değişen başka bir büyüklüğe bağlar:

• Merdiven (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Alt uç ne kadar uzaklaşırsa üst uç o kadar hızlı iner.
• Konik depo (ucu aşağıda): $V' = A\,h'$; burada A su yüzeyinin alanıdır. Sabit debi, yüzey küçükken seviyeyi hızla, büyükken yavaşça yükseltir.
• Lamba ve gölge: benzer üçgenlerden gölgenin ucu için $T = 1.5x$, dolayısıyla $T' = 1.5\,x'$ bulunur. İlişki doğrusaldır ve hızlar değişmez.
• Su halkası: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. Yarıçap sabit hızla büyürken çevrenin daha uzun olması, alanın daha hızlı büyümesi demektir.

Hız, bir zaman birimindeki değişim değildir. Üçgenin ucu, iki hız da şimdiki değerinde kalsaydı o süre sonra varılacak durumu gösterir. Aynı düşeydeki boş nokta gerçek durumu gösterir. Aralarındaki fark teğet doğrusu yaklaşımının hatasıdır: x = 3’ten $x' = 1$ m/s ile başlayan merdivenin üst ucu sonraki saniyede öngörülen 0.75 m yerine gerçekte 1 m iner. İki nokta yalnızca gölgenin doğrusal ilişkisinde çakışır.

Yeni katman, sonraki onda bir zaman biriminde ekleneni depoda yüzey alanı × kalınlık, su halkasında çevre × genişlik ile karşılaştırır. Katman yeterince inceyse iki değer neredeyse aynıdır; $V' = A\,h'$ ve $A' = 2\pi r\,r'$ buradan gelir.

Merdiven ideal bir modeldir. y, 0’a yaklaşırken üst uç sınırsızca hızlanarak inerdi; çünkü problem, ne olursa olsun alt ucun sabit hızla hareketini sürdürür. Sayfa x = 4.8’de durur.