المعدلات المرتبطة

حين ترتبط كميتان تتغيران مع الزمن بمعادلة، يرتبط معدلاهما أيضًا. هنا يتغير مقدار واحد بمعدل ثابت في كل مثال: السُلّم، والخزان الذي يمتلئ، وظل المصباح، والتموّج؛ ونرى كيف تتبعه الكمية الأخرى. إذا كانت ⁦y⁩ تعتمد على ⁦x⁩ وفق $y = f(x)$، وكانت ⁦x⁩ تتغير مع الزمن، فإن قاعدة السلسلة تعطي

يرسم المخطط على اليمين العلاقة نفسها، الكمية التابعة مقابل الكمية المحرّكة، وتمثل الحالة الحالية نقطة على المنحنى. يبدأ مثلث المعدلات من تلك النقطة. ضلعاه الأحمر والأصفر هما المعدلان مضروبين في المدة نفسها: دقيقة للخزان وثانية للأمثلة الأخرى. قسمة التغيّر الأصفر على الأحمر، بإشارتيهما، تعطي الميل، لذا يقع الضلع الثالث على المماس. يغيّر تدوير مقبض المعدل مقياس المثلث. الانتقال على علاقة منحنية يغيّر الميل، فيعطي معدل الكمية المحرّكة نفسه معدلًا مختلفًا للكمية التابعة؛ أما المستقيم في مثال الظل فيحافظ على ميله.

اشتق أولًا، ثم عوّض. في مثال السُلّم، عندما ⁦x = 3⁩ يكون الطرف العلوي عند ⁦y = 4⁩. التعويض أولًا يحوّل $x^2 + y^2 = 25$ إلى $9 + 16 = 25$، وهي مساواة بين ثوابت لا يفيد اشتقاقها بشيء. اشتقاق المعادلة العامة يعطي $2x\,x' + 2y\,y' = 0$؛ وبعد ذلك فقط تعطي ⁦x = 3⁩ و⁦y = 4⁩ و$x' = 1$ m/s النتيجة $y' = -3/4$ m/s.

تربط كل حالة من الحالات الأربع كمية محرّكة بكمية تتبعها:

• السُلّم، بطول ⁦5 m⁩: $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. كلما ابتعدت القدم، زادت سرعة هبوط الطرف العلوي.
• خزان مخروطي، ورأسه إلى أسفل: $V' = A\,h'$، حيث ⁦A⁩ مساحة سطح الماء. يرفع التدفق الثابت المنسوب بسرعة حين تكون المساحة صغيرة، وببطء حين تكون كبيرة.
• المصباح والظل: يعطي تشابه المثلثات موضع طرف الظل $T = 1.5x$، لذا $T' = 1.5\,x'$. العلاقة مستقيم، والمعدلات لا تتغير.
• التموّج: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. عند ثبات معدل نمو نصف القطر، يعني المحيط الأطول نموًا أسرع للمساحة.

المعدل ليس تغيّرًا خلال وحدة زمن واحدة. رأس المثلث هو الموضع الذي ستبلغه الحالة بعد تلك المدة لو بقي المعدلان كما هما الآن. والنقطة المفرغة على العمود نفسه هي الموضع الفعلي. الفجوة بينهما خطأ التقريب بالمماس: في السُلّم بدءًا من ⁦x = 3⁩ مع $x' = 1$ m/s، يهبط الطرف العلوي فعليًا ⁦1 m⁩ خلال الثانية التالية، لا ⁦0.75 m⁩ كما يتنبأ التقريب. تتطابق النقطتان فقط على المستقيم في مثال الظل.

يقارن خيار طبقة جديدة ما تضيفه عُشر وحدة الزمن التالية بمساحة السطح × السمك في الخزان، وبالمحيط × العرض في التموّج. حين تكون الطبقة رقيقة بما يكفي، تتقارب القيمتان جدًا؛ ومن هنا تأتي $V' = A\,h'$ و$A' = 2\pi r\,r'$.

السُلّم نموذج مثالي. سيهبط طرفه العلوي أسرع فأسرع بلا حد مع اقتراب ⁦y⁩ من ⁦0⁩، لأن المسألة تبقي القدم متحركة بسرعة ثابتة مهما حدث. تتوقف الصفحة عند ⁦x = 4.8⁩.