関連する変化率

時間とともに変わる2つの量が方程式で結ばれていれば、その変化率どうしも結びついています。ここでは、はしご、給水するタンク、街灯の影、波紋について、一方の量を一定の変化率で動かし、もう一方がどう連動するかを示します。$y = f(x)$によってyがxに依存し、xが時間とともに変わるなら、合成関数の微分法から次が得られます。

右のグラフは2つの量の関係そのものを描いています。動かす量に対して、連動する量を取り、現在の状態は曲線上の1点になります。その点から変化率の三角形が伸びます。赤い辺と黄色の辺は、それぞれの変化率に同じ時間を掛けた長さです。タンクでは1分、その他では1秒を使います。符号を含めて黄色の変化量を赤の変化量で割ると傾きになるので、3辺目は接線に沿います。変化率のノブを回すと三角形が拡大・縮小します。関係が曲線なら、移動につれて傾きが変わるため、動かす量の変化率が同じでも、連動する量の変化率は変わります。影の関係は直線なので、傾きは一定です。

先に微分し、そのあとで代入します。はしごでx = 3の瞬間、上端はy = 4にあります。先に代入すると$x^2 + y^2 = 25$は$9 + 16 = 25$になり、定数どうしの式を微分しても変化率の情報は得られません。一般の式を微分すると$2x\,x' + 2y\,y' = 0$となります。ここで初めてx = 3、y = 4、$x' = 1$ m/sを代入すれば、$y' = -3/4$ m/sが得られます。

4つの場面はそれぞれ、動かす量と連動する量を結びつけています。

• はしご（5m）：$x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$。下端が遠くへ出るほど、上端は速く下がります。
• 円錐形のタンク（頂点が下）：$V' = A\,h'$。Aは水面積です。一定の流量で水を入れると、水面が小さいときは水位が速く上がり、大きいときはゆっくり上がります。
• 街灯と影：三角形の相似から影の先端は$T = 1.5x$にあり、したがって$T' = 1.5\,x'$です。関係は直線で、変化率は一定です。
• 波紋：$A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$。半径が一定の速さで増えるなら、円周が長いほど面積は速く増えます。

変化率は、1単位時間での変化量そのものではありません。三角形の先端は、両方の変化率が今のまま続くと仮定したときの、その時間後の状態です。同じ縦線上の中抜きの点が、実際の状態です。2点の差は接線による近似の誤差を表します。はしごでx = 3、$x' = 1$ m/sから始めると、次の1秒で上端が実際に下がるのは1mで、予測の0.75mではありません。2点が一致するのは、影の直線の関係だけです。

新しい層では、次の0.1単位時間で実際に増える量と、タンクの「水面積×厚さ」や波紋の「円周×幅」を比べます。層が十分薄ければ、両者はほぼ一致します。これが$V' = A\,h'$と$A' = 2\pi r\,r'$の由来です。

はしごは理想化したモデルです。何があっても下端を一定の速さで動かすという条件なので、yが0に近づくにつれ、上端が下がる速さは限りなく大きくなります。このページではx = 4.8で止めます。