相關變率

兩個隨時間變化的量，若由方程式連在一起，它們的變化率也相互關聯。本頁的梯子、注水水槽、路燈影子與漣漪，都是讓一個量等速變化，再觀察另一個量如何跟著變。若y透過$y = f(x)$取決於x，而x隨時間變化，連鎖律給出：

右圖畫出兩個量的關係：橫軸是帶動變化的量，縱軸是隨之變化的量，目前狀態是曲線上的一點。變化率三角形從該點出發，紅色與黃色兩邊，是兩個變化率分別乘上同一段時間；水槽用一分鐘，其餘情境用一秒。黃色變化量除以紅色變化量，連同正負號一起計算，就是斜率，因此第三邊沿著切線。轉動變化率旋鈕會縮放三角形。沿彎曲的關係線移動，斜率也會改變，因此即使橫軸所代表的量以相同速率變化，縱軸所代表的量也會有不同的變化率；影子的關係是直線，斜率保持不變。

先微分，再代入。梯子在x = 3的瞬間，梯頂位於y = 4。若先代入，$x^2 + y^2 = 25$就變成$9 + 16 = 25$，成為常數間的等式，微分後無法提供變化率的資訊。先對一般式微分，得到$2x\,x' + 2y\,y' = 0$，再代入x = 3、y = 4與$x' = 1$ m/s，才會得到$y' = -3/4$ m/s。

四種情境，都讓一個量帶動另一個量變化：

• 梯子（5 m）：$x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$。梯腳離牆越遠，梯頂下降越快。
• 圓錐水槽（尖端朝下）：$V' = A\,h'$，其中A是水面面積。固定進水率下，水面小時水位升得快，水面大時則升得慢。
• 路燈與影子：由相似三角形，影子尖端的位置為$T = 1.5x$，所以$T' = 1.5\,x'$。關係是一條直線，變化率始終不變。
• 漣漪：$A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$。半徑以固定速率增加時，圓周越長，面積增長得越快。

變化率不等於一單位時間內的變化量。若兩個變化率都維持目前的值，經過該段時間後，狀態就會到達三角形尖端；同一條鉛直線上的空心點，才是實際到達的位置。兩點的差距就是切線近似的誤差：梯子從x = 3、$x' = 1$ m/s出發，梯頂在下一秒實際下降1公尺，而非預測的0.75公尺。只有影子這個直線關係，兩點才會重合。

新增薄層比較接下來0.1個時間單位的實際增量，與水槽的水面面積 × 厚度，或漣漪的圓周長 × 寬度。薄層夠薄時，兩者幾乎相同，這就是$V' = A\,h'$與$A' = 2\pi r\,r'$的由來。

梯子是理想化模型。當y趨近0，梯頂會無止境地越落越快，因為題目要求無論如何，梯腳都維持固定速率。本頁在x = 4.8處停止。