Tasas de variación relacionadas

Cuando dos magnitudes que cambian con el tiempo están unidas por una ecuación, sus tasas también lo están. Aquí, una escalera, un depósito que se llena, la sombra de una lámpara y una onda hacen variar una magnitud a tasa constante y muestran cómo responde la otra. Si y depende de x mediante $y = f(x)$ y x cambia con el tiempo, la regla de la cadena da

El gráfico de la derecha representa la relación misma, la magnitud dependiente frente a la que se hace variar; el estado actual es un punto de esa curva. El triángulo de tasas parte de ese punto. Sus lados rojo y amarillo son las dos tasas multiplicadas por un mismo tiempo: un minuto en el depósito y un segundo en los demás casos. El cambio amarillo dividido por el rojo, con sus signos, es la pendiente, así que el tercer lado sigue la tangente. Girar el mando de la tasa cambia el tamaño del triángulo. Moverse por una relación curva cambia la pendiente, por lo que una misma tasa impuesta produce otra tasa distinta en la magnitud dependiente; la recta de la sombra mantiene su pendiente.

Primero deriva y después sustituye. En la escalera, en el instante x = 3, la parte superior está en y = 4. Sustituir primero convierte $x^2 + y^2 = 25$ en $9 + 16 = 25$, una igualdad entre constantes cuya derivada no informa del movimiento. Derivar la ecuación general da $2x\,x' + 2y\,y' = 0$; solo entonces x = 3, y = 4 y $x' = 1$ m/s dan $y' = -3/4$ m/s.

Las cuatro situaciones relacionan una magnitud cuyo cambio se impone con otra que depende de ella:

• Escalera (5 m): $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Cuanto más se aleja el pie, más rápido baja la parte superior.
• Depósito cónico (punta hacia abajo): $V' = A\,h'$, donde A es el área de la superficie del agua. Un caudal constante hace subir el nivel deprisa cuando la superficie es pequeña y despacio cuando es grande.
• Lámpara y sombra: los triángulos semejantes sitúan la punta de la sombra en $T = 1.5x$, así que $T' = 1.5\,x'$. La relación es una recta y las tasas no cambian.
• Onda circular: $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. A velocidad radial constante, una circunferencia más larga significa un crecimiento más rápido del área.

Una tasa no es un cambio durante una unidad de tiempo. El vértice del triángulo indica dónde estaría el estado tras ese tiempo si ambas tasas mantuvieran su valor actual. El punto hueco en la misma vertical indica dónde está realmente. La separación es el error de la aproximación por la recta tangente: en la escalera, partiendo de x = 3 con $x' = 1$ m/s, la parte superior baja realmente 1 m en el segundo siguiente, no los 0,75 m previstos. Los dos puntos solo coinciden en la recta de la sombra.

La opción Nueva capa compara lo que se añade en la décima de unidad de tiempo siguiente con área de la superficie × grosor en el depósito, y con longitud de la circunferencia × anchura en la onda. Si la capa es lo bastante fina, los valores casi coinciden; de ahí salen $V' = A\,h'$ y $A' = 2\pi r\,r'$.

La escalera es una idealización. Su parte superior bajaría cada vez más deprisa, sin límite al acercarse y a 0, porque el problema mantiene el pie a velocidad constante pase lo que pase. La página se detiene en x = 4.8.