Taux de variation liés

Lorsque deux grandeurs qui évoluent avec le temps sont reliées par une équation, leurs taux de variation le sont aussi. Ici, une échelle, un réservoir qui se remplit, l’ombre d’une lampe et une onde font chacun varier une grandeur à taux constant et montrent comment l’autre suit. Si y dépend de x par $y = f(x)$ et que x varie avec le temps, la règle de la chaîne donne

Le graphique de droite trace la relation elle-même, la grandeur dépendante en fonction de celle qu’on fait varier ; l’état actuel est un point de cette courbe. Le triangle des taux part de ce point. Ses côtés rouge et jaune sont les deux taux multipliés par une même durée : une minute pour le réservoir, une seconde ailleurs. La variation jaune divisée par la rouge, signes compris, donne la pente : le troisième côté suit donc la tangente. Tourner le bouton du taux change l’échelle du triangle. Se déplacer sur une relation courbe modifie la pente : un même taux imposé donne alors un taux différent pour l’autre grandeur. La droite de l’ombre garde sa pente.

Dérivez d’abord, remplacez ensuite par les valeurs. Pour l’échelle, à l’instant où x = 3, le haut est à y = 4. Remplacer d’abord transforme $x^2 + y^2 = 25$ en $9 + 16 = 25$, une égalité entre constantes dont la dérivée ne renseigne pas sur le mouvement. Dériver l’équation générale donne $2x\,x' + 2y\,y' = 0$ ; c’est seulement ensuite que x = 3, y = 4 et $x' = 1$ m/s donnent $y' = -3/4$ m/s.

Les quatre situations relient chacune une grandeur que l’on fait varier à une autre qui en dépend :

• Échelle (5 m) : $x^2 + y^2 = 5^2 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}\,x'$. Plus le pied s’éloigne, plus le haut descend vite.
• Réservoir conique (pointe en bas) : $V' = A\,h'$, où A est l’aire de la surface de l’eau. À débit entrant constant, le niveau monte vite lorsque la surface est petite et lentement lorsqu’elle est grande.
• Lampe et ombre : les triangles semblables placent le bout de l’ombre à $T = 1.5x$, donc $T' = 1.5\,x'$. La relation est une droite et les taux restent constants.
• Onde circulaire : $A = \pi r^2 \Rightarrow A' = 2\pi r\,r'$. À vitesse radiale constante, une circonférence plus longue entraîne une croissance plus rapide de l’aire.

Un taux de variation n’est pas une variation sur une unité de temps. Le sommet du triangle indique l’état qu’on atteindrait après cette durée si les deux taux restaient à leur valeur actuelle. Le point creux sur la même verticale indique l’état réel. Leur écart est l’erreur de l’approximation par la tangente : pour l’échelle partant de x = 3 avec $x' = 1$ m/s, le haut descend réellement de 1 m pendant la seconde suivante, et non des 0,75 m prévus. Les deux points ne coïncident que pour la relation droite de l’ombre.

L’option Nouvelle couche compare l’ajout réel pendant le dixième d’unité de temps suivant au produit aire de la surface × épaisseur pour le réservoir, et au produit circonférence × largeur pour l’onde. Pour une couche suffisamment mince, les deux valeurs sont presque égales : c’est de là que viennent $V' = A\,h'$ et $A' = 2\pi r\,r'$.

L’échelle est un modèle idéalisé. Son haut descendrait de plus en plus vite, sans limite lorsque y tend vers 0, car le problème impose au pied une vitesse constante quoi qu’il arrive. La page s’arrête à x = 4.8.