指数函数

指数函数是$f(x) = b^x$，底数b固定，$b > 0$且$b \ne 1$。它在$x = 0$处高度为1。n是正整数时，$b^n$是乘n次b：$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$。向左走一步改成除，所以$b^{-n} = 1/b^n$，$b^0 = 1$。分数指数由同一条规则定出：两个半步合成一整步，所以半步乘的是平方等于b的那个正数，$b^{1/2} = \sqrt{b}$。同样，$b^{1/q}$是b的正的q次方根，$b^{p/q} = (b^{1/q})^p$。√2这样的无理指数，用它附近的有理指数去逼近，曲线就连成一片，没有空隙。

因为$b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$，从哪里出发向右走Δx，高度都乘$b^{\Delta x}$。从P出发的台阶在每一级竖线旁写着这个倍数；向左走，每一级除以它。一次函数正好相反：等长的步加上同样多。这一条规则定出了整条曲线的样子。曲线过(0, 1)；一直减半永远减不到0，所以曲线总在x轴上方。$b > 1$时向右越升越陡，向左越来越贴近0；$0 < b < 1$时反过来。

因为$(1/b)^x = b^{-x}$，$(1/b)^x$的图像就是$b^x$的图像关于y轴的镜像：一条曲线上向右走一步，就是另一条上向左走一步。底数1不算在内：每一步都乘1，图像是直线y = 1，不同的x给出同一个值，所以没有反函数。其余每个底数的反函数都是对数$\log_b x$。

在长h的一步上，曲线的平均变化率是$\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$。后一个因子与x无关；h缩小到0时，它趋于一个只由b决定的数，即自然对数$\ln b$。所以切线的斜率是$(b^x)' = \ln b \cdot b^x$：曲线越高越陡，比例始终不变。让这个比例等于1的底数是$e \approx 2.718$。因为$\ln e = 1$，$e^x$的图像处处斜率等于高度。