Funzione esponenziale

Una funzione esponenziale è $f(x) = b^x$ per una base fissa $b > 0$, $b \ne 1$. Ha altezza 1 in $x = 0$. Per un intero non negativo n, $b^n$ moltiplica per b n volte: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Un passo a sinistra divide anziché moltiplicare, quindi $b^{-n} = 1/b^n$ e $b^0 = 1$. Le frazioni seguono la stessa regola: due mezzi passi formano un passo intero, perciò mezzo passo moltiplica per il numero positivo il cui quadrato è b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Analogamente, $b^{1/q}$ è la radice q-esima positiva di b e $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. Un esponente irrazionale come √2 si raggiunge tramite esponenti razionali vicini, completando la curva senza interruzioni.

Poiché $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, un passo di Δx verso destra moltiplica l’altezza per $b^{\Delta x}$, qualunque sia il punto di partenza. La scala da P mostra questo fattore accanto a ogni salita; andando a sinistra, ogni passo divide per esso. In una funzione lineare, invece, passi uguali aggiungono la stessa quantità. Questa sola regola determina l’intera forma. La curva passa per (0, 1) e dimezzare ripetutamente non porta mai a 0: resta quindi sopra l’asse x. Per $b > 1$ sale sempre più rapidamente verso destra e si avvicina a 0 verso sinistra; per $0 < b < 1$ accade il contrario.

Poiché $(1/b)^x = b^{-x}$, il grafico di $(1/b)^x$ è il riflesso del grafico di $b^x$ rispetto all’asse y: un passo a destra con una base corrisponde a un passo a sinistra con l’altra. La base 1 è esclusa. Ogni passo moltiplica per 1, il grafico è la retta y = 1 e x diversi danno lo stesso valore, perciò non esiste una funzione inversa. Per ogni altra base, l’inversa è il logaritmo $\log_b x$.

Su un passo di lunghezza h, la curva sale con tasso medio $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. Il secondo fattore non dipende da x e, quando h tende a 0, si avvicina a un numero che dipende solo da b: il logaritmo naturale $\ln b$. La pendenza della tangente è dunque $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: più la curva è alta, più è ripida, sempre nella stessa proporzione. La base per cui tale proporzione vale 1 è $e \approx 2.718$. Il grafico di $e^x$ ha in ogni punto una pendenza uguale alla sua altezza, perché $\ln e = 1$.