Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial adalah $f(x) = b^x$ untuk basis tetap $b > 0$, $b \ne 1$. Tingginya 1 pada $x = 0$. Untuk bilangan bulat tak negatif n, $b^n$ berarti mengalikan dengan b sebanyak n kali: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Langkah ke kiri membagi, bukan mengalikan, sehingga $b^{-n} = 1/b^n$ dan $b^0 = 1$. Pecahan mengikuti aturan yang sama: dua setengah langkah membentuk satu langkah penuh, jadi setengah langkah mengalikan dengan bilangan positif yang kuadratnya b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Demikian pula, $b^{1/q}$ adalah akar ke-q positif dari b dan $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. Pangkat irasional seperti √2 dicapai melalui pangkat-pangkat rasional yang mendekatinya, sehingga kurva terisi tanpa celah.

Karena $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, satu langkah Δx ke kanan mengalikan tinggi dengan $b^{\Delta x}$, dari mana pun langkah itu dimulai. Tangga dari P menunjukkan faktor tersebut di samping setiap kenaikan; ke kiri, setiap langkah membagi dengan faktor itu. Sebaliknya, pada fungsi linear, langkah yang sama menambahkan jumlah yang sama. Satu aturan ini menentukan seluruh bentuknya. Kurva melalui (0, 1), dan pembagian dua berulang tidak pernah mencapai 0, sehingga kurva tetap di atas sumbu x. Untuk $b > 1$, kurva naik semakin curam ke kanan dan mendekati 0 ke kiri; untuk $0 < b < 1$, berlaku sebaliknya.

Karena $(1/b)^x = b^{-x}$, grafik $(1/b)^x$ adalah pencerminan grafik $b^x$ terhadap sumbu y: satu langkah ke kanan pada yang satu adalah satu langkah ke kiri pada yang lain. Basis 1 dikecualikan. Setiap langkah mengalikan dengan 1, grafiknya berupa garis y = 1, dan x yang berbeda memberikan nilai yang sama, sehingga tidak ada fungsi invers. Untuk setiap basis lainnya, fungsi inversnya adalah logaritma $\log_b x$.

Dalam satu langkah sepanjang h, kurva naik dengan laju rata-rata $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. Faktor kedua tidak bergantung pada x. Saat h mendekati 0, faktor ini mendekati bilangan yang hanya bergantung pada b, yaitu logaritma natural $\ln b$. Jadi kemiringan garis singgung adalah $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: semakin tinggi kurva, semakin curam kurva itu, selalu dengan perbandingan yang sama. Basis yang membuat perbandingan tersebut sama dengan 1 adalah $e \approx 2.718$. Grafik $e^x$ memiliki kemiringan yang sama dengan tingginya di setiap titik, karena $\ln e = 1$.