Función exponencial

Una función exponencial es $f(x) = b^x$ para una base fija $b > 0$, $b \ne 1$. Tiene altura 1 en $x = 0$. Para un entero no negativo n, $b^n$ multiplica por b n veces: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Un paso a la izquierda divide en lugar de multiplicar, de modo que $b^{-n} = 1/b^n$ y $b^0 = 1$. Las fracciones siguen la misma regla: dos medios pasos forman uno entero, así que medio paso multiplica por el número positivo cuyo cuadrado es b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Del mismo modo, $b^{1/q}$ es la raíz q-ésima positiva de b y $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. Un exponente irracional como √2 se alcanza mediante exponentes racionales próximos, completando la curva sin huecos.

Como $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, un paso de Δx a la derecha multiplica la altura por $b^{\Delta x}$, sea cual sea su punto de partida. La escalera desde P muestra ese factor junto a cada subida; hacia la izquierda, cada paso divide por él. En una función lineal, en cambio, pasos iguales suman la misma cantidad. Esta única regla determina toda la forma. La curva pasa por (0, 1), y reducir a la mitad repetidamente nunca llega a 0, así que permanece por encima del eje x. Para $b > 1$, sube cada vez más deprisa hacia la derecha y se aproxima a 0 hacia la izquierda; para $0 < b < 1$, ocurre al revés.

Como $(1/b)^x = b^{-x}$, la gráfica de $(1/b)^x$ es la reflexión de la de $b^x$ respecto al eje y: un paso a la derecha con una base equivale a uno a la izquierda con la otra. La base 1 se excluye. Cada paso multiplica por 1, la gráfica es la recta y = 1 y distintos x dan el mismo valor, por lo que no hay función inversa. Para cualquier otra base, la función inversa es el logaritmo $\log_b x$.

En un paso de longitud h, la curva asciende a una tasa media $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. El segundo factor no depende de x y, cuando h tiende a 0, se aproxima a un número que solo depende de b: el logaritmo natural $\ln b$. Por tanto, la pendiente de la tangente es $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: cuanto más alta está la curva, más pronunciada es su inclinación, siempre en la misma proporción. La base para la que esa proporción es 1 es $e \approx 2.718$. La gráfica de $e^x$ tiene en todas partes una pendiente igual a su altura, porque $\ln e = 1$.