Показательная функция

Показательная функция — это $f(x) = b^x$ при постоянном основании $b > 0$, $b \ne 1$. При $x = 0$ её высота равна 1. Для неотрицательного целого n выражение $b^n$ означает умножение на b n раз: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Шаг влево означает деление вместо умножения, поэтому $b^{-n} = 1/b^n$ и $b^0 = 1$. Для дробей действует то же правило: два полушага составляют целый шаг, значит полушаг умножает на положительное число, квадрат которого равен b, $b^{1/2} = \sqrt{b}$. Так же $b^{1/q}$ — положительный корень степени q из b, и $b^{p/q} = (b^{1/q})^p$. К иррациональному показателю, например √2, подходят через близкие рациональные показатели, что заполняет кривую без пробелов.

Поскольку $b^{x + \Delta x} = b^x \cdot b^{\Delta x}$, шаг длиной Δx вправо умножает высоту на $b^{\Delta x}$, откуда бы он ни начинался. Лестница от P показывает этот множитель рядом с каждым подъёмом; при движении влево каждый шаг делит на него. У линейной функции, напротив, равные шаги добавляют одинаковую величину. Это одно правило определяет всю форму. Кривая проходит через (0, 1), а повторное деление пополам никогда не достигает 0, поэтому она остаётся выше оси x. При $b > 1$ она всё круче поднимается вправо и приближается к 0 слева; при $0 < b < 1$ всё наоборот.

Поскольку $(1/b)^x = b^{-x}$, график $(1/b)^x$ является отражением графика $b^x$ относительно оси y: шаг вправо для одного основания соответствует шагу влево для другого. Основание 1 исключается. Каждый шаг умножает на 1, график — прямая y = 1, а разные x дают одно значение, поэтому обратной функции нет. Для любого другого основания обратная функция — логарифм $\log_b x$.

На шаге длиной h кривая изменяет высоту со средней скоростью $\dfrac{b^{x + h} - b^x}{h} = b^x \cdot \dfrac{b^h - 1}{h}$. Второй множитель не зависит от x и при h, стремящемся к 0, приближается к числу, зависящему только от b: натуральному логарифму $\ln b$. Поэтому наклон касательной равен $(b^x)' = \ln b \cdot b^x$: чем выше кривая, тем она круче, всегда в одной пропорции. Основание, при котором эта пропорция равна 1, — $e \approx 2.718$. У графика $e^x$ наклон везде равен высоте, поскольку $\ln e = 1$.